Compare as técnicas primal-dual e primal com restrições objetivas, destacando as vantagens e desvantagens desta última.

Passo 1

O enunciado pede para comparar dois esquemas de solução de problemas de otimização – o primal-dual e o primal com restrições objetivas – e destacar vantagens e desvantagens do segundo. Vamos precisar entender o que cada método faz em termos de formulação de Lagrangianos, atualização de variáveis primais e (quando houver) variáveis duais.

Passo 2

No método primal-dual, introduzimos multiplicadores de Lagrange lambda para cada restrição e trabalhamos simultaneamente nas variáveis primais x e duais lambda. O esquema geral envolve:
1. Construir o Lagrangeano
L(x,lambda)=f(x)+lambda^top g(x),
onde g(x)<=0 são as restrições.
2. Atualizar x buscando minimizar L(x,lambda) (passo primal).
3. Atualizar lambda buscando maximizar L(x,lambda) por algum passo de gradiente ou projeção (passo dual).
4. Repetir até convergência ao ponto que satisfaz condições de Karush–Kuhn–Tucker (KKT).

Passo 3

No método primal com restrições objetivas, em vez de usar variáveis duais explíticas, incorporamos penalidades ou barreiras diretamente na função objetivo. Por exemplo, se temos g(x)<=0, resolvemos
minx;f(x)+mu,Pl(g(x)r),
onde P é uma penalidade (por ex. P(y)=max0,y^2) ou barreira (por ex. P(y)=-ln(-y)) e mu>0 é um parâmetro que regula a força da penalização. Assim, trabalhamos apenas com x, ajustando mu para forçar o cumprimento das restrições.

Passo 4

Vantagens do primal com restrições objetivas
bul<=t Implementação mais simples, pois só há atualização de x.
bul<=t Dispensa tratamento explícito de projeção ou manutenção de lambda>=0.
bul<=t Bom em problemas onde projetar sobre a região viável é custoso, mas avaliar penalidades é barato.
Desvantagens do primal com restrições objetivas
bul<=t A escolha de mu (e do tipo de penalidade) é crítica: muito grande pode deixar o problema mal condicionado; muito pequeno pode violar restrições.
bul<=t Convergência lenta se o termo de penalidade não cresce adequadamente conforme nos aproximamos da fronteira viável.
bul<=t Não garante, em geral, satisfação exata das restrições em iterações intermediárias (apenas no limite quando mutoinfty ou muto0, conforme a formulação).

Resposta

O esquema primal com restrições objetivas simplifica a implementação ao lidar só com variáveis primais, mas depende fortemente da escolha de parâmetros de penalização/barreira e normalmente exige estratégias adicionais para garantir que as restrições sejam satisfeitas com precisão e obter boa taxa de convergência.

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