Exercício 7: Mostre que se
, então
. Consequência, se
e
, então
. Porém, se
e
, então
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, num corpo ordenado (como os reais), se
então o inverso multiplicativo de
, isto é
, também é positivo. Em seguida, derivar que:
– se e
, então
;
– se e
, então
.
Usaremos as propriedades de um corpo ordenado:
. Se
e
então
.
. Para
, vale
se e somente se
e
ou
e
.
. Se
, multiplicar ou dividir uma desigualdade por
preserva o sentido.
– se
– se
Usaremos as propriedades de um corpo ordenado:
Passo 2
Prova de que
implica
.
Como e
, sabemos que
possui inverso
. Além disso,
Como
e sabemos que
. Logo
. Pela propriedade “
só se
e
têm mesmo sinal”, e sabendo que
, concluímos que necessariamente
.
Passo 3
Conseq"{u}^encia
: se
e
, ent~ao
.
Como , do passo anterior segue
. Ent~ao
Como
'e o produto de dois n’umeros positivos, o que implica
.
Passo 4
Conseq"{u}^encia
: se
e
, ent~ao
.
Primeiro note que equivale a
. Pelo passo
,
. Mas
, ent~ao
, isto 'e,
.
Logo
Primeiro note que
Logo
'e o produto de
por
, e assim
.
Resposta
Mostramos que em um corpo ordenado
acarreta
. Então, se
e
,
; e se
e
,
.