Exercício 7: Mostre que se x>0, então x^-1>0. Consequência, se x>0 e y>0, então x / y>0. Porém, se x>0 e y<0, então x / y<0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, num corpo ordenado (como os reais), se x>0 então o inverso multiplicativo de x, isto é x^-1, também é positivo. Em seguida, derivar que:
– se x>0 e y>0, então xy>0;
– se x>0 e y<0, então xy<0.
Usaremos as propriedades de um corpo ordenado:
1. Se a>0 e b>0 então ab>0.
2. Para a,bneq0, vale ab>0 se e somente se (a>0 e b>0) ou (a<0 e b<0).
3. Se a>0, multiplicar ou dividir uma desigualdade por a preserva o sentido.

Passo 2

Prova de que x>0 implica x^-1>0.
Como xneq0 e x>0, sabemos que x possui inverso x^-1. Além disso,
xcdot x^-1 = 1
e sabemos que 1>0. Logo xcdot x^-1>0. Pela propriedade “ ab>0 só se a e b têm mesmo sinal”, e sabendo que x>0, concluímos que necessariamente x^-1>0.

Passo 3

Conseq"{u}^encia 1: se x>0 e y>0, ent~ao tfracxy>0.
Como y>0, do passo anterior segue y^-1>0. Ent~ao
xy = xcdot y^-1
'e o produto de dois n’umeros positivos, o que implica xy>0.

Passo 4

Conseq"{u}^encia 2: se x>0 e y<0, ent~ao tfracxy<0.
Primeiro note que y<0 equivale a -y>0. Pelo passo 2, (-y)^-1>0. Mas (-y)^-1 = -,y^-1, ent~ao -,y^-1>0, isto 'e, y^-1<0.
Logo
xy = xcdot y^-1
'e o produto de x>0 por y^-1<0, e assim xy<0.

Resposta

Mostramos que em um corpo ordenado x>0 acarreta x^-1>0. Então, se x>0 e y>0, tfracxy>0; e se x>0 e y<0, tfracxy<0.

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