Exercício 4). Para uma reação enzimática, os seguintes dados foram obtidos para duas diferentes concentrações iniciais de enzima:
[\mathrm{S}]
(\mathrm{g} / \mathrm{L})
\mathrm{v}\left(\left[\mathrm{E}_{0}\right]=0,015 \mathrm{~g} / \mathrm{L}\right)
(\mathrm{g} / \mathrm{L} . \mathrm{min})
\mathrm{v}\left(\left[\mathrm{E}_{0}\right]=0,00875 \mathrm{~g} / \mathrm{L}\right)
(\mathrm{g} / \mathrm{L} . \mathrm{min})
20 1,14 0,67
10 0,87 0,51
6,7 0,7 0,41
5 0,59 0,34
4 0,5 0,29
Calcule Vmax e Km para cada concentração inicial de enzima por Lineweaver-Burk
(Resposta: [Eo]=0,015 g/L -> Vmax = 1,68 g/L.min; \mathrm{Km}=9,4 \mathrm{~g} / \mathrm{L} / /[\mathrm{Eo}]=0,00875 \mathrm{~g} / \mathrm{L}->\mathrm{Vmax}= 1 \mathrm{~g} / \mathrm{L} . \mathrm{min} ; \mathrm{Km}=9,88 \mathrm{~g} / \mathrm{L} )

Passo 1

O enunciado pede para calcular V_{\max} e K_m para duas diferentes concentrações iniciais de enzima usando Lineweaver–Burk. As informações fornecidas são a tabela de concentrações de substrato [\mathrm{S}] e as velocidades iniciais v correspondentes para cada concentração inicial de enzima \left[\mathrm{E}_0\right].
Dados (retirados diretamente da tabela do enunciado):
\begin{array}{c|cc} [\mathrm{S}]\\ (\mathrm{g/L}) & v\\ (\,[\mathrm{E}_0]=0{,}015\\ \mathrm{g/L})\\ (\mathrm{g/L\cdot min}) & v\\ (\,[\mathrm{E}_0]=0{,}00875\\ \mathrm{g/L})\\ (\mathrm{g/L\cdot min})\\hline 20 & 1{,}14 & 0{,}67\\\\ 10 & 0{,}87 & 0{,}51\\\\ 6{,}7 & 0{,}70 & 0{,}41\\\\ 5 & 0{,}59 & 0{,}34\\\\ 4 & 0{,}50 & 0{,}29 \end{array}
O que é pedido: para cada valor de \left[\mathrm{E}_0\right] (ou seja, duas vezes), calcular V_{\max} e K_m usando o método Lineweaver–Burk (linearização por inversos).

Passo 2

Breve explicação prática do método (para você aplicar na prova):
A equação de Michaelis–Menten é
v = \frac{V_{\max}[\mathrm{S}]}{K_m + [\mathrm{S}]},
onde:
  • v é a velocidade inicial medida (unidades: \mathrm{g/L\cdot min} aqui);
  • [\mathrm{S}] é a concentração inicial de substrato (unidades: \mathrm{g/L});
  • V_{\max} é a velocidade máxima (mesmas unidades de v);
  • K_m é a constante de Michaelis (unidades de [\mathrm{S}], aqui \mathrm{g/L}).
Lineweaver–Burk é a linearização por inversos: invertendo ambos os lados obtemos uma reta
\frac{1}{v} = \frac{K_m}{V_{\max}}\cdot\frac{1}{[\mathrm{S}]} + \frac{1}{V_{\max}}.
Nesta forma, se definirmos x=\frac{1}{[\mathrm{S}]} e y=\frac{1}{v}, temos a equação da reta y = a x + b com
a = \frac{K_m}{V_{\max}},\qquad b = \frac{1}{V_{\max}}.
Portanto:
V_{\max} = \frac{1}{b},\qquad K_m = \frac{a}{b}.
Na prática (na prova) você:
  1. calcula x_i = 1/[\mathrm{S}]_i e y_i = 1/v_i para cada ponto medido;
  2. faz um ajuste linear por mínimos quadrados (reta) para obter coeficientes a e b;
  3. calcula V_{\max}=1/b e K_m=a/b.
Vou fazer isso passo a passo para cada conjunto de dados.

Passo 3

Preparação dos dados (inversos). Usei os valores de [\mathrm{S}] e v da tabela (peguei os dados diretamente da tabela do enunciado) e calculei x=1/[\mathrm{S}] e y=1/v.
Para ambos os conjuntos de v os valores de x=1/[\mathrm{S}] são os mesmos:
\begin{array}{c|c} [\mathrm{S}]\\ (\mathrm{g/L}) & x=\displaystyle\frac{1}{[\mathrm{S}]}\\ (\mathrm{L/g})\\hline 20 & 0{,}05\\\\ 10 & 0{,}10\\\\ 6{,}7 & 0{,}1492537313\\\\ 5 & 0{,}20\\\\ 4 & 0{,}25 \end{array}
Agora os y=1/v para cada \left[\mathrm{E}_0\right].
Para \left[\mathrm{E}_0\right]=0{,}015\\ \mathrm{g/L} (usei os v da coluna correspondente):
\begin{array}{c|c} v\\ (\mathrm{g/L\cdot min}) & y=\displaystyle\frac{1}{v}\\ (\mathrm{min\cdot L/g})\\hline 1{,}14 & 0{,}877192982\\\\ 0{,}87 & 1{,}149425287\\\\ 0{,}70 & 1{,}428571429\\\\ 0{,}59 & 1{,}694915254\\\\ 0{,}50 & 2 \end{array}
Para \left[\mathrm{E}_0\right]=0{,}00875\\ \mathrm{g/L}:
\begin{array}{c|c} v\\ (\mathrm{g/L\cdot min}) & y=\displaystyle\frac{1}{v}\\ (\mathrm{min\cdot L/g})\\hline 0{,}67 & 1{,}492537313\\\\ 0{,}51 & 1{,}960784314\\\\ 0{,}41 & 2{,}439024390\\\\ 0{,}34 & 2{,}941176471\\\\ 0{,}29 & 3{,}448275862 \end{array}
Esses são os pares (x_i,y_i) que vamos ajustar por regressão linear simples.

Passo 4

Fórmulas do ajuste linear por mínimos quadrados (reta y=ax+b).
Com n pontos (x_i,y_i), os coeficientes são dados por
a=\frac{n\sum x_i y_i - \left(\sum x_i\right)\left(\sum y_i\right)}{n\sum x_i^2 - \left(\sum x_i\right)^2},
b=\frac{\sum y_i - a\sum x_i}{n}.
Aqui n=5. Vou calcular todas as somas necessárias para cada conjunto de y.
Primeiro calculei (estes valores vêm dos x que checamos no Passo 3):
\sum x_i = 0{,}7492537313,\qquad \sum x_i^2 = 0{,}1372764228.
(esses dois são os mesmos para os dois conjuntos, porque [\mathrm{S}] é o mesmo).
Agora eu calculo as somas envolvendo y separadamente para cada \left[\mathrm{E}_0\right].
Vou mostrar as contas numéricas (arredondei os intermediários com precisão suficiente para chegar aos resultados finais com 2–3 dígitos significativos corretos).

Passo 5

Cálculo para \left[\mathrm{E}_0\right]=0{,}015\\ \mathrm{g/L}.
Usei os y listados no Passo 3. Calculei:
\sum y_i = 7{,}150104952,
\sum x_i y_i = 1{,}2110688111.
Agora aplico as fórmulas. Primeiro o numerador e denominador para a:
n\sum x_i y_i = 5\cdot 1{,}2110688111 = 6{,}0553440555,
\left(\sum x_i\right)\left(\sum y_i\right) = 0{,}7492537313\cdot 7{,}150104952 \approx 5{,}3572413770.
Logo
\text{numerador}_a = 6{,}0553440555 - 5{,}3572413770 = 0{,}6981026785.
E o denominador (já pré-calculado):
n\sum x_i^2 - \left(\sum x_i\right)^2 = 5\cdot 0{,}1372764228 - (0{,}7492537313)^2 \approx 0{,}1250020088.
Portanto
a \approx \frac{0{,}6981026785}{0{,}1250020088} \approx 5{,}584821.
Agora b:
b = \frac{\sum y_i - a\sum x_i}{n} = \frac{7{,}150104952 - 5{,}584821\cdot 0{,}7492537313}{5} \approx 0{,}5931312704.
Lembrando que b = 1/V_{\max} e a = K_m/V_{\max}, calculo:
V_{\max} = \frac{1}{b} \approx \frac{1}{0{,}5931312704} \approx 1{,}6859\\ \mathrm{g/L\cdot min},
K_m = \frac{a}{b} \approx \frac{5{,}584821}{0{,}5931312704} \approx 9{,}416\\ \mathrm{g/L}.
Arredondando de forma prática para a prova: V_{\max}\approx 1{,}68\\ \mathrm{g/L\cdot min} e K_m\approx 9{,}4\\ \mathrm{g/L}.

Passo 6

Cálculo para \left[\mathrm{E}_0\right]=0{,}00875\\ \mathrm{g/L}.
Usei os y da segunda coluna do Passo 3. Calculei:
\sum y_i = 12{,}28179835,
\sum x_i y_i = 2{,}0850452163.
Agora as contas para a e b:
n\sum x_i y_i = 5\cdot 2{,}0850452163 = 10{,}4252260815,
\left(\sum x_i\right)\left(\sum y_i\right) = 0{,}7492537313\cdot 12{,}28179835 \approx 9{,}202183762.
Então
\text{numerador}_a = 10{,}4252260815 - 9{,}202183762 = 1{,}2230423195.
Denominador (mesmo de antes) \approx 0{,}1250020088. Assim
a \approx \frac{1{,}2230423195}{0{,}1250020088} \approx 9{,}784338.
Agora b:
b = \frac{\sum y_i - a\sum x_i}{n} = \frac{12{,}28179835 - 9{,}784338\cdot 0{,}7492537313}{5} \approx 0{,}99016917.
Então
V_{\max} = \frac{1}{b} \approx \frac{1}{0{,}99016917} \approx 1{,}00995\\ \mathrm{g/L\cdot min},
K_m = \frac{a}{b} \approx \frac{9{,}784338}{0{,}99016917} \approx 9{,}882\\ \mathrm{g/L}.
Arredondando de forma prática: V_{\max}\approx 1{,}00\\ \mathrm{g/L\cdot min} e K_m\approx 9{,}88\\ \mathrm{g/L}.

Resposta

\left[\mathrm{E}_0\right]=0{,}015\\ \mathrm{g/L}:\\ V_{\max}=1{,}68\\ \mathrm{g/L\cdot min};\\ K_m=9{,}4\\ \mathrm{g/L}
\left[\mathrm{E}_0\right]=0{,}00875\\ \mathrm{g/L}:\\ V_{\max}=1{,}00\\ \mathrm{g/L\cdot min};\\ K_m=9{,}88\\ \mathrm{g/L}

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