Um reator contínuo é alimentado com um meio contendo 10 \mathrm{~g} / \mathrm{L} de glicose. O volume do reator é de 5 L e a vazão de alimentação é de 1 \mathrm{L} / \mathrm{h}. Em regime estacionário, a concentração celular é de 2,5 \mathrm{~g} / \mathrm{L} e a de substrato residual é 0,8 \mathrm{~g} / \mathrm{L}. Sabendo que o coeficiente de rendimento em biomassa é \mathrm{Yx} / \mathrm{s}=0,5 \mathrm{~g} / \mathrm{g}, determine:
a) A taxa de diluição (D);
b) A velocidade específica de crescimento microbiano ( \mu );
c) Verifique se o sistema está operando abaixo da taxa crítica de lavagem.

Passo 1

Vamos organizar o que o enunciado dá e o que pede, bem devagarinho para não se perder:
Dados fornecidos:
S_{\text{in}}=10\\ \mathrm{g/L}
V=5\\ \mathrm{L}
F=1\\ \mathrm{L/h}
X=2{,}5\\ \mathrm{g/L}\quad(\text{concentração celular em regime estacionário})çãá
S=0{,}8\\ \mathrm{g/L}\quad(\text{substrato residual em regime estacionário})á
Y_{x/s}=0{,}5\\ \mathrm{g\,biomassa/g\,substrato}
O que o enunciado pede:
a) Calcular a taxa de diluição \;D\;.
b) Determinar a velocidade específica de crescimento microbiano \;\mu\;.
c) Verificar se o sistema está operando abaixo da taxa crítica de lavagem (ou seja, se não corre risco de washout).
Não vou resolver nada ainda — só deixei aqui tudo o que temos e o que precisamos achar.

Passo 2

Calcular a taxa de diluição \;D\;.
A definição da taxa de diluição num reator contínuo tipo chemostato é a vazão volumétrica dividida pelo volume do reator:
D=\frac{F}{V}.
Aqui:
F=1\\ \mathrm{L/h},\quad V=5\\ \mathrm{L}.
Substituindo:
D=\frac{1}{5}=0{,}2\\ \mathrm{h^{-1}}.
Explicação curta do conceito: D diz quantas frações do volume do reator são substituídas por hora. Se D for grande, o fluido (e as células) saem rápido; se for pequeno, ficam mais tempo.

Passo 3

Relação entre \mu e D pelo balanço de biomassa (conceito importante e muito usado).
No regime estacionário a variação da concentração celular é zero. O balanço de biomassa (por unidade de volume) no chemostato é:
\frac{dX}{dt}=(\mu-D)X.
Em regime estacionário \frac{dX}{dt}=0, então
(\mu-D)X=0.
Como X não é zero (há biomassa), conclui-se que
\mu=D.
Isto é um resultado fundamental: em estado estacionário (com população estável) a velocidade específica de crescimento \mu iguala a taxa de diluição D.
Usando o valor encontrado em

Passo 4

\mu=D=0{,}2\\ \mathrm{h^{-1}}.
Observação didática: esse é o jeito mais direto e frequente de obter \mu quando estamos no regime estacionário. Mas há outra maneira usando o balanço de substrato e o rendimento; eu mostro a seguir porque às vezes a gente calcula \mu a partir dos consumos.

Passo 5

Cálculo alternativo de \mu a partir do balanço de substrato e do rendimento Y_{x/s} (útil para entender consumo e relacionar taxas).
Balanço de substrato (por volume) em regime estacionário:
0 = D(S_{\text{in}}-S) - r_S,
onde r_S é a taxa volumétrica de consumo de substrato (unidade \mathrm{g\;substrato/L/h}). A relação entre produção de biomassa e consumo de substrato é dada pelo rendimento:
r_X=\mu X\quad(\text{produção de biomassa, g/L/h})çã
e
r_S=\frac{1}{Y_{x/s}}\,r_X=\frac{1}{Y_{x/s}}\,\mu X.
Substituindo em 0 = … obtemos:
0 = D(S_{\text{in}}-S) - \frac{1}{Y_{x/s}}\,\mu X.
Isolando \mu:
\mu = D\,(S_{\text{in}}-S)\,Y_{x/s}\,\frac{1}{X}.
Agora substituímos os números:
S_{\text{in}}-S = 10 - 0{,}8 = 9{,}2\\ \mathrm{g/L},
Y_{x/s}=0{,}5\\ \mathrm{g/g},\quad X=2{,}5\\ \mathrm{g/L},\quad D=0{,}2\\ \mathrm{h^{-1}}.
Logo
\mu = 0{,}2\cdot 9{,}2\cdot 0{,}5\cdot\frac{1}{2{,}5}.
Calculando passo a passo:
9{,}2\cdot 0{,}5 = 4{,}6,
4{,}6 / 2{,}5 = 1{,}84,
\mu = 0{,}2\cdot 1{,}84 = 0{,}368\\ \mathrm{h^{-1}}.
Interpretação didática e reconciliamento das duas formas:
  • Pelo balanço de biomassa em regime estacionário obtemos \mu=D=0{,}2\\ \mathrm{h^{-1}}.
  • Pelo balanço de substrato com o rendimento, obtemos \mu=0{,}368\\ \mathrm{h^{-1}}.
Essas duas maneiras deveriam dar o mesmo valor se todas as hipóteses do modelo simples (por exemplo, todo substrato consumido vai para crescimento de biomassa segundo o rendimento dado, sem consumo adicional para manutenção ou respiração) forem verdadeiras. Como deram valores diferentes, isso indica que, na prática, pode haver consumo de substrato para manutenção celular, respiração, ou que o rendimento informado é um valor teórico aproximado — mas como o enunciado forneceu Y_{x/s} e dados de concentração, a forma prática de verificar estabilidade é comparar as taxas calculadas. Vou usar as duas informações a seguir para a verificação de washout.

Passo 6

Verificação se o sistema está operando abaixo da taxa crítica de lavagem (washout).
Conceito simples: washout (lavagem) acontece se a diluição D for maior que a capacidade de crescimento específica \mu (as células saem mais rápido do que crescem). Ou seja, para que o reator mantenha biomassa é necessário que
\mu > D.
Temos dois valores para \mu pelas duas abordagens:
  • Pela condição de estado estacionário (balanço de biomassa): \mu=D=0{,}2\\ \mathrm{h^{-1}}.
  • Pelo balanço de substrato com rendimento: \mu=0{,}368\\ \mathrm{h^{-1}}.
Comparando D com o \mu obtido pelo balanço de substrato (que reflete a taxa de crescimento implícita pelo consumo de substrato e rendimento fornecido):
D = 0{,}2\\ \mathrm{h^{-1}} < \mu = 0{,}368\\ \mathrm{h^{-1}}.
Portanto, segundo essa comparação, o sistema está operando abaixo da taxa crítica de lavagem (ou seja, não corre risco imediato de washout): a velocidade específica de crescimento calculada a partir do consumo de substrato é maior que a diluição aplicada.
Comentário de ânimo: resumo prático para prova — calcule D com F/V; use ou o balanço de biomassa (mu = D em regime estacionário) ou o balanço de substrato + rendimento para estimar \mu a partir dos dados de substrato/biomassa; para avaliar washout compare D com a \mu disponível (se \mu>D está ok). Você fez bem em pedir passo a passo — essas comparações aparecem direto nas provas.

Resposta

a) D=0{,}2\\ \mathrm{h^{-1}}
b) \mu=0{,}368\\ \mathrm{h^{-1}} (valor obtido pelo balanço de substrato e rendimento). Observação: pelo balanço de biomassa em regime estacionário teria \mu=D=0{,}2\\ \mathrm{h^{-1}}.
c) Sim — comparando D=0{,}2\\ \mathrm{h^{-1}} com \mu=0{,}368\\ \mathrm{h^{-1}} (do balanço de substrato) temos D<\mu, logo o sistema opera abaixo da taxa crítica de lavagem.

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