Uma industria despejou um efluente ,em um rio , que contém majoritariamente o ácido HA.
Dados:
\mathrm{HA}_{(\mathrm{aq})} \leftrightarrow \mathrm{H}^{+}{ }_{(\mathrm{aq})}+\mathrm{A}^{-}{ }_{(\mathrm{aq})} \quad \mathrm{K}=?
\mathrm{R}=8,314 \mathrm{~J} / \mathrm{K} . \mathrm{mol}, 1 \mathrm{cal}=4,18 \mathrm{~J}
Substância \Delta \mathrm{G}^{\circ}(\mathrm{Kcal} / \mathrm{mol})
\mathrm{HA}_{(\mathrm{aq})} -150,00
\mathrm{~A}_{(\mathrm{aq})}^{-} -130,00
\mathrm{H}_{(\mathrm{aq})}^{+} 0,00
Com base nas informações,responda:
a) Qual é o valor da constante de equilíbrio (K) a 25^{\circ} \mathrm{C} ? (0,5)
b) Qual será o pH da água do rio,se [\mathrm{HA}]=1,00 \mathrm{~mol} / \mathrm{L} ? (0,5)

Passo 1

Resumo do que o enunciado dá e pede:
  • Reação química: \mathrm{HA}_{(\mathrm{aq})} \leftrightarrow \mathrm{H}^{+}_{(\mathrm{aq})} + \mathrm{A}^{-}_{(\mathrm{aq})}.
  • Tabelinha com energias livres padrão (unidades: \mathrm{kcal/mol}):
    • \Delta G^\circ(\mathrm{HA}_{(\mathrm{aq})}) = -150{,}00
    • \Delta G^\circ(\mathrm{A}^-_{(\mathrm{aq})}) = -130{,}00
    • \Delta G^\circ(\mathrm{H}^+_{(\mathrm{aq})}) = 0{,}00
  • Constantes/valores auxiliares dados:
    • R = 8{,}314\\ \mathrm{J/(K\cdot mol)}
    • 1\\ \mathrm{cal} = 4{,}18\\ \mathrm{J} (logo 1\\ \mathrm{kcal}=4180\\ \mathrm{J})
    • Temperatura: 25^\circ\mathrm{C} = 298{,}15\\ \mathrm{K}
    • Para a parte (b) a concentração inicial: [\mathrm{HA}]_0 = 1{,}00\\ \mathrm{mol/L}
  • Perguntas:
    a) Calcular a constante de equilíbrio K a 25^\circ\mathrm{C}.
    b) Calcular o pH da água do rio se [\mathrm{HA}]_0 = 1{,}00\\ \mathrm{mol/L}.

Passo 2

Entender a relação entre energia livre padrão e constante de equilíbrio.
  • A variação de energia livre padrão da reação é dada por
\Delta G^\circ_{\text{rxn}} = \sum \Delta G^\circ_{\text{produtos}} - \sum \Delta G^\circ_{\text{reagentes}}.
  • A relação entre \Delta G^\circ_{\text{rxn}} e a constante de equilíbrio K é
\Delta G^\circ_{\text{rxn}} = -RT\ln K,
onde R é a constante universal dos gases (em \mathrm{J/(K\cdot mol)}), T é a temperatura em \mathrm{K} e \ln é o logaritmo natural. Vou usar essa fórmula para obter K a partir de \Delta G^\circ_{\text{rxn}}.

Passo 3

Calcular \Delta G^\circ_{\text{rxn}} a partir dos dados da tabela (em \mathrm{kcal/mol}).
  • Pela definição:
\Delta G^\circ_{\text{rxn}} = \Delta G^\circ(\mathrm{H}^+) + \Delta G^\circ(\mathrm{A}^-) - \Delta G^\circ(\mathrm{HA}).
  • Substituindo os valores (todos em \mathrm{kcal/mol}):
\Delta G^\circ_{\text{rxn}} = 0{,}00 + (-130{,}00) - (-150{,}00) = 20{,}00\\ \mathrm{kcal/mol}.

Passo 4

Converter \Delta G^\circ_{\text{rxn}} para \mathrm{J/mol} (porque R está em \mathrm{J/(K\cdot mol)}).
  • Usando 1\\ \mathrm{kcal}=4180\\ \mathrm{J}:
\Delta G^\circ_{\text{rxn}} = 20{,}00\\ \mathrm{kcal/mol}\times 4180\\ \frac{\mathrm{J}}{\mathrm{kcal}} = 83\,600\\ \mathrm{J/mol}.

Passo 5

Calcular K usando \Delta G^\circ_{\text{rxn}} = -RT\ln K.
  • Isolando \ln K:
\ln K = -\frac{\Delta G^\circ_{\text{rxn}}}{RT}.
  • Substituindo os números: \Delta G^\circ_{\text{rxn}}=83\,600\\ \mathrm{J/mol}, R=8{,}314\\ \mathrm{J/(K\cdot mol)}, T=298{,}15\\ \mathrm{K}:
\ln K = -\frac{83\,600}{8{,}314 \times 298{,}15}.
  • Calcule o denominador: 8{,}314\times 298{,}15 \approx 2\,478{,}96.
  • Então
\ln K \approx -\frac{83\,600}{2\,478{,}96} \approx -33{,}742.
  • Assim
K = e^{-33{,}742} \approx 2{,}24\times 10^{-15}.
(Interpretação rápida: K é extremamente pequeno, ou seja, o ácido praticamente não se dissocia.)

Passo 6

Agora vamos calcular o pH da solução com [\mathrm{HA}]_0 = 1{,}00\\ \mathrm{M}. Primeiro explico a modelagem: equilíbrio ácido + autoionização da água.
  • Reação de dissociação: \mathrm{HA} \rightleftharpoons \mathrm{H}^+ + \mathrm{A}^-.
  • Constante de equilíbrio (já encontrada): K = \dfrac{[\mathrm{H}^+][\mathrm{A}^-]}{[\mathrm{HA}]}.
  • Além disso, a água se autoioniza: \mathrm{H}_2\mathrm{O} \rightleftharpoons \mathrm{H}^+ + \mathrm{OH}^- com constante
K_w = [\mathrm{H}^+][\mathrm{OH}^-] = 1{,}0\times 10^{-14}\\ \text{(a 25\(^\circ\)C)}.
  • Precisamos considerar que parte do [\mathrm{H}^+] pode vir da ionização do próprio solvente (água). Portanto, o procedimento correto é combinar massa e carga:
Massa do ácido:
[\mathrm{HA}]_0 = [\mathrm{HA}] + [\mathrm{A}^-] \quad\Rightarrow\quad [\mathrm{HA}] = C - [\mathrm{A}^-],
onde C=1{,}00\\ \mathrm{M} é a concentração inicial.
Carga (neutralidade elétrica):
[\mathrm{H}^+] = [\mathrm{OH}^-] + [\mathrm{A}^-].

Passo 7

Simplificar o sistema e obter uma fórmula prática para [\mathrm{H}^+].
  • Da expressão de K:
K = \frac{[\mathrm{H}^+][\mathrm{A}^-]}{C-[\mathrm{A}^-]} \quad\Rightarrow\quad K(C-[\mathrm{A}^-]) = [\mathrm{H}^+][\mathrm{A}^-].
  • Reescrevendo:
[\mathrm{A}^-]([ \mathrm{H}^+ ] + K) = K C.
  • Como K é muito pequeno ( \sim 10^{-15}) e esperamos [\mathrm{H}^+] da ordem de 10^{-7}, podemos aproximar [\mathrm{H}^+]+K \approx [\mathrm{H}^+]. Então
[\mathrm{A}^-] \approx \frac{K C}{[\mathrm{H}^+]}.
  • Usando neutralidade [\mathrm{H}^+] = [\mathrm{OH}^-] + [\mathrm{A}^-] e substituindo [\mathrm{OH}^-]=K_w/[\mathrm{H}^+] e [\mathrm{A}^-] pela expressão acima:
[\mathrm{H}^+] = \frac{K_w}{[\mathrm{H}^+]} + \frac{K C}{[\mathrm{H}^+]}.
  • Multiplicando por [\mathrm{H}^+]:
[\mathrm{H}^+]^2 = K_w + K C.
  • Portanto, a boa aproximação para [\mathrm{H}^+] (que inclui efeito da água) é
[\mathrm{H}^+] = \sqrt{K_w + K C}.
Essa fórmula é muito útil: quando o ácido é fraco (K pequeno) e a concentração é moderada, ela combina corretamente a contribuição da água e do ácido.

Passo 8

Calcular numericamente [\mathrm{H}^+] e o pH.
  • Valores: K_w = 1{,}0\times 10^{-14}, K \approx 2{,}24\times 10^{-15}, C=1{,}00.
  • Soma:
K_w + K C = 1{,}0\times 10^{-14} + 2{,}24\times 10^{-15} = 1{,}224\times 10^{-14}.
  • Raiz quadrada:
[\mathrm{H}^+] = \sqrt{1{,}224\times 10^{-14}} \approx 1{,}1064\times 10^{-7}\\ \mathrm{M}.
  • pH:
\mathrm{pH} = -\log_{10}([\mathrm{H}^+]) = -\log_{10}(1{,}1064\times 10^{-7}) \approx 6{,}96.
Interpretação: a solução fica ligeiramente ácida em relação à água pura ( \mathrm{pH}=7{,}00), porque o ácido, apesar de muito fraco, adiciona uma pequena quantidade extra de \mathrm{H}^+.

Resposta

K \approx 2{,}24\times 10^{-15}
\mathrm{pH} \approx 6{,}96

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