Exercício 2 - A reação irreversível, em fase gasosa, 3 \mathrm{~A} \rightarrow \mathrm{~B} é processada em um reator CSTR ideal em estado estacionário de 10.000 litros. A alimentação é uma mistura de 1 / 1 molar de A e \mathrm{N}_{2}, a uma pressão total de 5,0 \mathrm{~atm} e temperatura de 50^{\circ} \mathrm{C}. O reator opera a 350^{\circ} \mathrm{C}, com uma pressão total de 5,0 \mathrm{~atm}. A vazão volumétrica na alimentação é de 8.000 litros/hora, nas condições da alimentação.
Sendo \mathrm{k}=4,0 \times 10^{-5} \mathrm{~h}^{-1} a 100^{\circ} \mathrm{C} e a energia de ativação é de 90,0 \mathrm{~kJ} / \mathrm{mol}, calcule a conversão de A na corrente que deixa o reator.

Passo 1

O enunciado pede a conversão de A na corrente que sai de um CSTR ideal (estado estacionário). Dados fornecidos (vou listar tudo para não nos perder):
\begin{aligned} &\text{Reação: }3\mathrm{A}\rightarrow \mathrm{B}\\ \text{(irreversível, fase gasosa)}\\\ &\text{Volume do reator: }V=10\,000\\ \text{L}\\\ &\text{Alimentação: mistura molar }1/1\\ \text{de A e } \mathrm{N}_2\\\ &\text{Pressão (alimentação e reator): }P=5{,}0\\ \text{atm}\\\ &\text{Temperatura da alimentação: }T_{\text{feed}}=50^\circ\mathrm{C}=323{,}15\\ \text{K}\\\ &\text{Temperatura no reator: }T=350^\circ\mathrm{C}=623{,}15\\ \text{K}\\\ &\text{Vazão volumétrica na alimentação (condições da alimentação): }Q_0=8\,000\\ \text{L/h}\\\ &\text{Constante de velocidade dada: }k_1=4{,}0\times10^{-5}\\ \text{h}^{-1}\\ \text{à }100^\circ\mathrm{C}\\ (T_1=373{,}15\\ \text{K})\\\ &\text{Energia de ativação: }E_a=90{,}0\\ \text{kJ/mol}=90\,000\\ \text{J/mol}\\\ &\text{Constante dos gases: }R=8{,}314\\ \text{J/(mol·K)}\\ \text{ou}\\ R=0{,}082057\\ \text{L·atm/(mol·K)}. \end{aligned}çãíçããçãçããéçãçõçãàçã
Pergunta explicitamente: calcular a conversão de A na corrente que sai do reator.
(Pronto — agora começamos a resolver passo a passo.)

Passo 2

Escolha do modelo cinético e cálculo de k à temperatura do reator.
Observação importante (didática e prática de prova): o enunciado fornece k com unidade \mathrm{h}^{-1}. Isso indica que a constante informada é de uma reação de primeira ordem em concentração (unidade típica \text{tempo}^{-1}). Por isso vou assumir que a expressão da taxa da reação elementar (da qual a estequiometria é 3A → B) é da forma
r = k\,C_A
onde r tem unidades \text{mol·L}^{-1}\text{·h}^{-1} se multiplicarmos por coeficiente estequiométrico abaixo para obter a velocidade de consumo de A. A velocidade de consumo de A por volume será então
r_A = 3\,k\,C_A,
porque três mols de A são consumidos por cada ocorrência da reação. (Se o enunciado desse k com outra unidade, teríamos considerado outra ordem.)
Para obter k à temperatura do reator usamos a lei de Arrhenius em forma de razão:
k(T)=k(T_1)\exp\!\Big[-\frac{E_a}{R}\Big(\frac{1}{T}-\frac{1}{T_1}\Big)\Big].
Aqui R em unidades J/(mol·K) e temperaturas em K. Substituindo k(T_1)=4{,}0\times10^{-5}\\ \mathrm{h}^{-1}, E_a=90\,000\\ \mathrm{J/mol}, T_1=373{,}15\\ \mathrm{K} e T=623{,}15\\ \mathrm{K}:
\begin{aligned} \frac{1}{T}-\frac{1}{T_1}&=\frac{1}{623{,}15}-\frac{1}{373{,}15}=-0{,}00107501\\ \mathrm{K^{-1}},\\[4pt] -\frac{E_a}{R}\Big(\frac{1}{T}-\frac{1}{T_1}\Big)&= \frac{90\,000}{8{,}314}\times 0{,}00107501\approx 11{,}64. \end{aligned}
Logo
k(623{,}15\\ \mathrm{K})=4{,}0\times10^{-5}\exp(11{,}64)\approx 4{,}55\\ \mathrm{h}^{-1}.]

Passo 3

Determinar o fluxo molar de alimentação de A ( F_{A0}) a partir dos dados da alimentação (uso do gás ideal).
A vazão volumétrica total na alimentação é Q_0=8\,000\\ \mathrm{L/h} nas condições da alimentação ( T_{\text{feed}}=323{,}15\\ \mathrm{K}, P=5{,}0\\ \mathrm{atm}). Pela equação dos gases ideais, a vazão molar total na alimentação é
F_{T0}=\frac{P\,Q_0}{R_{\text{(L·atm)}}\,T_{\text{feed}}}
onde R_{\text{(L·atm)}}=0{,}082057\\ \mathrm{L·atm/(mol·K)}. Substituindo:
F_{T0}=\frac{5{,}0\times 8\,000}{0{,}082057\times 323{,}15}\\ \mathrm{mol/h}\approx 1\,508{,}7\\ \mathrm{mol/h}.
Como a alimentação é 1/1 molar (A e \mathrm{N}_2 iguais), a fração molar de A na alimentação é y_{A0}=0{,}5, então
F_{A0}=y_{A0}\,F_{T0}=0{,}5\times 1\,508{,}7\\ \mathrm{mol/h}\approx 754{,}35\\ \mathrm{mol/h}.

Passo 4

Balanço molar em regime estacionário no CSTR e relação com conversão X.
Definição de conversão:
X=\frac{F_{A0}-F_A}{F_{A0}},
ou seja F_A=F_{A0}(1-X).
Balanço molar de A no CSTR (estado estacionário, regime permanente):
F_{A0}-F_A+V\cdot r_{A,\text{(volumétrico)}}=0,é
onde r_{A,\text{(volumétrico)}}é é a taxa volumétrica de consumo de A (mol·L{-1}·h{-1}), positiva quando A é consumida. Como a reação consome três mols de A por ocorrência e adotamos r=k\,C_A como taxa da reação, temos
r_{A,\text{(volumétrico)}}=3\,k\,C_A.é
Substituindo F_A=F_{A0}(1-X) no balanço resulta
F_{A0}-F_{A0}(1-X)+V\cdot 3kC_A=0 \quad\Rightarrow\quad F_{A0}X=V\cdot 3k\,C_A.
Essa é a equação central: lado esquerdo é mol/h de A convertido; lado direito é consumo por volume vezes volume.

Passo 5

Expressar C_A (concentração de A no reator, nele assumimos mistura perfeita) em função de X.
Concentração de A no reator:
C_A = y_A\,C_{\text{total(reag)}} \quad\text{com}\quad C_{\text{total(reag)}}=\frac{P}{R_{\text{(L·atm)}}\,T}.
Aqui y_A é a fração molar de A na mistura dentro do reator (ou na saída, mesma coisa em regime estacionário). Vamos escrever y_A em função de X usando os fluxos molares de saída.
Fluxos de saída (estado estacionário):
\begin{aligned} F_A&=F_{A0}(1-X),\\\ F_B&=\frac{1}{3}\big(F_{A0}-F_A\big)=\frac{F_{A0}X}{3}\quad\text{(pela estequiometria 3A→B)},\\\ F_{N_2}&=F_{N_2,0}=F_{A0}\quad\text{(inérte, alimentação 1/1)}. \end{aligned}éçã
Então o fluxo molar total de saída é
\begin{aligned} F_T&=F_A+F_B+F_{N_2}=F_{A0}(1-X)+\frac{F_{A0}X}{3}+F_{A0}\\\ &=F_{A0}\Big(2 - \frac{2}{3}X\Big)=2F_{A0}\Big(1-\frac{X}{3}\Big). \end{aligned}
Portanto a fração molar de A na saída (e no reator) é
y_A=\frac{F_A}{F_T}=\frac{F_{A0}(1-X)}{2F_{A0}\left(1-\dfrac{X}{3}\right)} =\frac{1-X}{2\left(1-\dfrac{X}{3}\right)}.
Logo a concentração de A no reator é
C_A = y_A\frac{P}{R\,T}=\frac{1-X}{2\left(1-\dfrac{X}{3}\right)}\cdot\frac{P}{R\,T}.

Passo 6

Substituir C_A na equação de balanço e obter a equação em X (e números).
A equação do Passo 4 era
F_{A0}X=V\cdot 3k\,C_A.
Substituindo C_A:
F_{A0}X=V\cdot 3k\cdot \frac{1-X}{2\left(1-\dfrac{X}{3}\right)}\cdot\frac{P}{R\,T}.
Agora colocamos os números já calculados/estimados:
\begin{aligned} &F_{A0}\approx 754{,}35\\ \mathrm{mol/h},\quad V=10\,000\\ \mathrm{L},\\\ &k\approx 4{,}55\\ \mathrm{h}^{-1},\quad P=5{,}0\\ \mathrm{atm},\\\ &R=0{,}082057\\ \mathrm{L·atm/(mol·K)},\quad T=623{,}15\\ \mathrm{K}. \end{aligned}
Calculemos o fator \dfrac{P}{R\,T} (concentração molar total no reator):
\frac{P}{R\,T}=\frac{5{,}0}{0{,}082057\times 623{,}15}\\ \mathrm{mol/L}\approx 0{,}09778\\ \mathrm{mol/L}.
Agora o lado direito numérico sem o fator \dfrac{1-X}{1-X/3} fica:
V\cdot 3k\cdot\frac{P}{R\,T}=10\,000\cdot 3\cdot 4{,}55\cdot 0{,}09778\approx 13\,339.
Assim a equação reduz-se a
754{,}35\,X = 13\,339\cdot \frac{1-X}{2\left(1-\dfrac{X}{3}\right)}.
Dividindo 13\,339 por 2 obtemos 6\,669{,}5, e portanto
754{,}35\,X = 6\,669{,}5\cdot\frac{1-X}{1-\dfrac{X}{3}}.
Multiplicando ambos os lados por 1-\dfrac{X}{3} e reorganizando, obtemos um polinômio quadrático:
-251{,}45\,X^2 + 7\,423{,}84\,X - 6\,669{,}5 = 0,
ou escrito na forma padrão positiva
251{,}45\,X^2 - 7\,423{,}84\,X + 6\,669{,}5 = 0.
(Os coeficientes acima vêm da multiplicação numérica mostrada; preservei casas decimais para transparência — em prova pode arredondar razoavelmente.)

Passo 7

Resolver a quadrática e selecionar a raiz fisicamente significativa (entre 0 e 1).
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
X=\frac{7\,423{,}84\pm\sqrt{7\,423{,}84^2-4\cdot 251{,}45\cdot 6\,669{,}5}}{2\cdot 251{,}45}.
Calculemos o discriminante aproximado:
\Delta\approx 7\,423{,}84^2 - 4\cdot 251{,}45\cdot 6\,669{,}5 \approx 4{8}\,053\,650,
\sqrt{\Delta}\approx 6\,932{,}07.
As duas raízes são então (aproximando):
\begin{aligned} X_1&\approx\frac{7\,423{,}84+6\,932{,}07}{502{,}90}\approx 28{,}5\\ (\text{não física, }>1),\\[4pt] X_2&\approx\frac{7\,423{,}84-6\,932{,}07}{502{,}90}\approx 0{,}927. \end{aligned}ãí
A raiz física é a que está entre 0 e 1, portanto a conversão de A na saída é aproximadamente
X\approx 0{,}927,
ou seja cerca de 92{,}7\%.]

Resposta

\;X=0{,}927
\;X=92{,}7\%

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