Exercício P.2.1.7. Um recipiente contém 30 kg de água ( \gamma=9800 \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{3} ) e está completamente cheio. Após algum tempo 2/3 ( dois terços ) da água do recipiente é consumida e o recipiente é novamente completado, desta vez com um óleo leve \left(\gamma=7742 \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{3}\right) que, evidentemente, sobrenada sobre a água. Para estas novas condições, determine a massa total de fluido ( óleo + água ) presente no recipiente.

Passo 1

O enunciado e os dados que temos (sem resolver ainda):
  • O recipiente está inicialmente completamente cheio com água de massa 30\\ \mathrm{kg}.
  • Peso específico (peso por volume) da água: \gamma_{\text{água}} = 9800\\ \mathrm{N/m^{3}}á.
  • Após algum tempo, são consumidos 2/3 da água; portanto sobra 1/3 da massa inicial de água.
  • O recipiente é novamente completado com óleo leve que sobrenada sobre a água, com \gamma_{\text{óleo}} = 7742\\ \mathrm{N/m^{3}}ó.
  • O que se pede: determinar a massa total de fluido (óleo + água) presente no recipiente nas novas condições.
Informações importantes extraídas do enunciado que vamos usar:
  • Massa inicial de água: 30\\ \mathrm{kg}.
  • Fração consumida: 2/3 (logo sobra 1/3).
  • Os valores de \gamma (peso específico) para água e óleo foram dados e serão usados para obter as densidades.

Passo 2

Conceito-chave e fórmula que vamos usar (explicando devagar como se estivéssemos na prova):
  • O peso específico \gamma é o peso por unidade de volume. Relaciona-se com a densidade de massa \rho pela fórmula
\gamma = \rho\,g,
onde \rho é a massa por unidade de volume ( \mathrm{kg/m^3}) e g é a aceleração da gravidade ( \mathrm{m/s^2}).
  • Assim, para obter a densidade \rho a partir de \gamma usamos
\rho=\frac{\gamma}{g}.
Observação prática: o enunciado fornece \gamma_{\text{água}}=9800\\ \mathrm{N/m^3}á. Se escolhermos g=9,8\\ \mathrm{m/s^2}, obtemos \rho_{\text{água}}=1000\\ \mathrm{kg/m^3}á, que é o valor usual da água — então usar g=9,8\\ \mathrm{m/s^2} é conveniente e consistente com os dados.

Passo 3

Calcular a densidade da água e o volume total do recipiente (passo a passo):
  • Densidade da água:
\rho_{\text{água}}=\frac{\gamma_{\text{água}}}{g}=\frac{9800}{9,8}=1000\\ \mathrm{kg/m^3}.áá
  • O volume total do recipiente V pode ser obtido a partir da massa inicial de água m_{\text{inicial}}=30\\ \mathrm{kg} e da densidade:
V=\frac{m_{\text{inicial}}}{\rho_{\text{água}}}=\frac{30}{1000}=0{,}03\\ \mathrm{m^3}.á
Explicando: massa = densidade × volume, então volume = massa/densidade. Aqui o volume do recipiente é 0{,}03\\ \mathrm{m^3}.

Passo 4

Calcular a massa e o volume da água que permanece após o consumo:
  • A massa de água que sobra é 1/3 da inicial:
m_{\text{água, sobra}}=\frac{1}{3}\cdot 30=10\\ \mathrm{kg}.á
  • O volume ocupado por essa água remanescente:
V_{\text{água}}=\frac{m_{\text{água, sobra}}}{\rho_{\text{água}}}=\frac{10}{1000}=0{,}01\\ \mathrm{m^3}.ááá

Passo 5

Calcular o volume de óleo adicionado (preenchendo o restante do recipiente) e a densidade do óleo:
  • Volume de óleo adicionado:
V_{\text{óleo}}=V-V_{\text{água}}=0{,}03-0{,}01=0{,}02\\ \mathrm{m^3}.óá
  • Densidade do óleo (a partir de \gamma_{\text{óleo}}ó):
\rho_{\text{óleo}}=\frac{\gamma_{\text{óleo}}}{g}=\frac{7742}{9,8}\approx 790{,}2040816\\ \mathrm{kg/m^3}.óó
(Arredondaremos quando conveniente; guardamos casas suficientes para os cálculos manuais de prova.)

Passo 6

Calcular a massa do óleo adicionada e a massa total final:
  • Massa do óleo:
m_{\text{óleo}}=\rho_{\text{óleo}}\;V_{\text{óleo}}=\left(\frac{7742}{9,8}\right)\times 0{,}02.óóó
Fazendo as contas passo a passo:
7742\times 0{,}02=154{,}84,
m_{\text{óleo}}=\frac{154{,}84}{9,8}=15{,}8\\ \mathrm{kg}.ó
  • Massa total de fluido no recipiente (água + óleo):
m_{\text{total}}=m_{\text{água, sobra}}+m_{\text{óleo}}=10+15{,}8=25{,}8\\ \mathrm{kg}.áó

Resposta

25{,}8\\ \mathrm{kg}

Exercícios relacionados