Exercício R.2.1.4. Duas placas planas paralelas estão situadas a 3 mm de distância. A placa superior move-se com velocidade de 4 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, equanto que a inferior está imóvel. Considerando que um óleo ( v=0,15 stokes e \rho= 905 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ) ocupa o espaço entre elas, determinar a tensão de cizalhamento que agirá sobre o óleo.
v=0,15 stokes =0,15 \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{s}=0,15 \frac{\mathrm{~cm}^{2}}{\mathrm{~s}} \times 10^{-4} \frac{\mathrm{~m}^{2}}{\mathrm{~cm}^{2}}=1,5 \times 10^{-5} \frac{\mathrm{~m}^{2}}{\mathrm{~s}}
\mu=v \cdot \rho=1,5 \times 10^{-5} \times 905=0,0136 \frac{\mathrm{~N} \cdot \mathrm{~s}}{\mathrm{~m}^{2}}
\tau=\mu . \frac{v_{0}}{e}=0,0136 \frac{\mathrm{~N} \cdot \mathrm{~s}}{\mathrm{~m}^{2}} \times \frac{4 \mathrm{~m} / \mathrm{s}}{0,003 \mathrm{~m}}=18,1 \frac{\mathrm{~N}}{\mathrm{~m}^{2}}=18,1 \mathrm{~Pa}

Passo 1

O enunciado pede a tensão de cizalhamento que atua sobre um óleo entre duas placas paralelas separadas por 3\\ \text{mm}. As informações fornecidas são:
  • distância entre placas: e=3\\ \text{mm}=0,003\\ \text{m};
  • velocidade da placa superior: v_0=4\\ \text{m}/\text{s};
  • placa inferior imóvel (velocidade zero);
  • kinematic viscosity do óleo: v=0,15\\ \text{stokes};
  • densidade do óleo: \rho=905\\ \text{kg}/\text{m}^3.
O objetivo é encontrar a tensão de cizalhamento \tau que age no óleo.

Passo 2

Primeiro precisamos expressar a viscosidade cinemática em unidades SI ( \text{m}^2/\text{s}). Lembre-se que
1\\ \text{stoke}=1\\ \frac{\text{cm}^2}{\text{s}}=10^{-4}\\ \frac{\text{m}^2}{\text{s}}.
Então
\nu = 0,15\\ \text{stokes} = 0,15\\ \frac{\text{cm}^2}{\text{s}} = 0,15\times10^{-4}\\ \frac{\text{m}^2}{\text{s}} = 1,5\times10^{-5}\\ \frac{\text{m}^2}{\text{s}}.

Passo 3

Precisamos da viscosidade dinâmica \mu (também chamada coeficiente de viscosidade), que se relaciona com a viscosidade cinemática \nu e a densidade \rho por
\mu = \nu\cdot\rho.
Aqui \nu tem unidades \text{m}^2/\text{s}, \rho tem unidades \text{kg}/\text{m}^3, e o produto tem unidades \text{kg}/(\text{m}\cdot\text{s}), que é equivalente a \text{N}\cdot\text{s}/\text{m}^2 (Pa·s). Substituindo:
\mu = \left(1,5\times10^{-5}\right)\cdot 905 = 1,5\times10^{-5}\times905.
Calcule passo a passo:
1,5\times905 = 1357,5, \qquad 1,5\times10^{-5}\times905 = 1357,5\times10^{-5}=0,013575.
Portanto
\mu = 0,013575\\ \frac{\text{N}\cdot\text{s}}{\text{m}^2}\approx 0,0136\\ \frac{\text{N}\cdot\text{s}}{\text{m}^2}.

Passo 4

Agora a relação que liga a tensão de cizalhamento e a velocidade para um fluido newtoniano (lei de Newton da viscosidade) é
\tau=\mu\;\frac{du}{dy},
onde:
  • \tau é a tensão de cizalhamento (em \text{N}/\text{m}^2 ou Pa);
  • \mu é a viscosidade dinâmica (em \text{N}\cdot\text{s}/\text{m}^2);
  • u(y) é o perfil de velocidade na direção paralela às placas;
  • du/dy é o gradiente de velocidade na direção perpendicular às placas.
No caso simples de placas paralelas com a inferior fixa e a superior movendo-se a velocidade constante v_0, o escoamento é estacionário e laminar (Couette simples) e o perfil de velocidade é linear entre as placas. Assim
\frac{du}{dy}=\frac{v_0-0}{e}=\frac{v_0}{e}.
(Explicação curta: sem forças adicionais e sem efeitos inerciais dominantes, as camadas do fluido deslizam umas sobre as outras de forma linear.)

Passo 5

Substituindo o gradiente na expressão da tensão:
\tau=\mu\cdot\frac{v_0}{e}.
Agora vamos substituir os valores numéricos (usar \mu=0,013575\\ \text{N}\cdot\text{s}/\text{m}^2, v_0=4\\ \text{m}/\text{s}, e=0,003\\ \text{m}):
\tau = 0,013575\cdot\frac{4}{0,003}.

Passo 6

Faça a aritmética em duas etapas:
0,013575\times4 = 0,0543,
\frac{0,0543}{0,003} = 18,1.
Então
\tau = 18,1\\ \frac{\text{N}}{\text{m}^2}.

Passo 7

Verificação de unidades: \mu em \text{N}\cdot\text{s}/\text{m}^2 vezes v_0/e em \text{s}^{-1} resulta em \text{N}/\text{m}^2, que é Pa. Logo o resultado é consistente: \tau=18,1\\ \text{Pa}.

Passo 8

Resumo conceitual rápido para a prova (esticando a explicação): identificar o tipo de escoamento (placa móvel vs placa fixa) sugere imediatamente o perfil linear de velocidade; usar a lei de Newton da viscosidade \tau=\mu\,du/dy e transformar viscosidade cinemática em dinâmica por \mu=\nu\rho. Esses são os passos padrão em problemas de Couette simples.

Resposta

18,1\\ \text{Pa}

Exercícios relacionados