Exercício R.2.1.4. Duas placas planas paralelas estão situadas a 3 mm de distância. A placa superior move-se com velocidade de
, equanto que a inferior está imóvel. Considerando que um óleo (
stokes e
) ocupa o espaço entre elas, determinar a tensão de cizalhamento que agirá sobre o óleo.
stokes
Passo 1
O enunciado pede a tensão de cizalhamento que atua sobre um óleo entre duas placas paralelas separadas por
. As informações fornecidas são:
- distância entre placas:
; - velocidade da placa superior:
; - placa inferior imóvel (velocidade zero);
- kinematic viscosity do óleo:
; - densidade do óleo:
.
O objetivo é encontrar a tensão de cizalhamento
que age no óleo.
Passo 2
Primeiro precisamos expressar a viscosidade cinemática em unidades SI (
). Lembre-se que
Então
Passo 3
Precisamos da viscosidade dinâmica
(também chamada coeficiente de viscosidade), que se relaciona com a viscosidade cinemática
e a densidade
por
Aqui
tem unidades
,
tem unidades
, e o produto tem unidades
, que é equivalente a
(Pa·s). Substituindo:
Calcule passo a passo:
Portanto
Passo 4
Agora a relação que liga a tensão de cizalhamento e a velocidade para um fluido newtoniano (lei de Newton da viscosidade) é
onde:
-
é a tensão de cizalhamento (em ou Pa); -
é a viscosidade dinâmica (em ); -
é o perfil de velocidade na direção paralela às placas; -
é o gradiente de velocidade na direção perpendicular às placas.
No caso simples de placas paralelas com a inferior fixa e a superior movendo-se a velocidade constante
, o escoamento é estacionário e laminar (Couette simples) e o perfil de velocidade é linear entre as placas. Assim
(Explicação curta: sem forças adicionais e sem efeitos inerciais dominantes, as camadas do fluido deslizam umas sobre as outras de forma linear.)
Passo 5
Substituindo o gradiente na expressão da tensão:
Agora vamos substituir os valores numéricos (usar
,
,
):
Passo 6
Faça a aritmética em duas etapas:
Então
Passo 7
Verificação de unidades:
em
vezes
em
resulta em
, que é Pa. Logo o resultado é consistente:
.
Passo 8
Resumo conceitual rápido para a prova (esticando a explicação): identificar o tipo de escoamento (placa móvel vs placa fixa) sugere imediatamente o perfil linear de velocidade; usar a lei de Newton da viscosidade
e transformar viscosidade cinemática em dinâmica por
. Esses são os passos padrão em problemas de Couette simples.