Exercício 2.5. Resolva as EDO’s e os PVI’s:
Passo 1
Enunciado dado: resolver a equação diferencial
O que se pede:
- encontrar a solução geral da EDO (família de soluções);
- indicar como resolver o problema de valor inicial (PVI) dado um ponto inicial genérico
— isto é, obter a solução que passa por .
Informações relevantes do enunciado:
- a equação relaciona
com e através do produto ; - observe que
para todo (portanto nunca se zera); - não foi dado um PVI numérico específico, então vamos apresentar a forma geral para um PVI com
.
Passo 2
Reconhecimento e separação de variáveis (sem pular etapas).
- Vamos tentar isolar as variáveis
e em lados opostos, porque a equação é do tipo separável: todos os termos que envolvem podem ficar de um lado e os que envolvem do outro. - Divido ambos os lados por
(isso é legítimo porque ,):
- Lembrando que
, reescrevo como diferencial e separo:
Agora as variáveis estão separadas:
-lado esquerdo,
-lado direito.
Passo 3
Integração de ambos os lados (explicando as integrais usadas).
- Integramos ambos os lados em relação às suas variáveis:
- Lado esquerdo: sabemos (ou podemos aprender aqui) que a primitiva de
é . Por quê? Porque . Então
Aqui
é uma constante de integração.
- Lado direito: a primitiva de
é , pois . Então
- Igualando os dois resultados e recolhendo constantes numa só constante
(com ), obtemos
Passo 4
Isolamento de
e obtenção da solução explícita.
- Para obter
explicitamente, aplicamos a função tangente em ambos os lados (a tangente é a inversa da arctan num intervalo adequado):
- Então a solução geral da EDO é a família
onde
é a constante arbitrária.
- Observação importante sobre constantes e soluções constantes: não existem soluções constantes
que satisfaçam a EDO, porque se fosse constante, e a EDO exigiria , o que só seria verdade para todo se , o que é impossível. Portanto não há soluções constantes.
Passo 5
Discussão de domínio e existência máxima (por que a solução pode “explodir”).
- A função
tem assíntotas verticais quando o argumento atinge para algum . Logo, a solução está definida apenas nos intervalos em onde
- Assim, a solução é definida localmente em intervalos de
que não alcançam esses valores do argumento; ao aproximar-se de um desses valores, tende a . - Sobre unicidade e existência: a função
é contínua e tem derivada parcial em , , também contínua. Pelo teorema de existência e unicidade (Picard–Lindelöf), para qualquer PVI com ponto inicial existe uma única solução local passando por esse ponto; e essa solução é precisamente a encontrada acima, restringida ao intervalo maximal onde a tangente não explode.
Passo 6
Como resolver um PVI genérico e um exemplo concreto.
- Se for dado um PVI
, determinamos impondo o valor inicial na fórmula . Substituindo e ,
- Portanto a solução do PVI é
- Exemplo rápido: se o PVI for
, então e a solução é
Resposta
Para o PVI