Exercício 2.5. Resolva as EDO’s e os PVI’s:
y^{\prime}=x^{3}\left(y^{2}+1\right)

Passo 1

Enunciado dado: resolver a equação diferencial
y' = x^{3}\bigl(y^{2}+1\bigr).
O que se pede:
  • encontrar a solução geral da EDO (família de soluções);
  • indicar como resolver o problema de valor inicial (PVI) dado um ponto inicial genérico (x_0,y_0) — isto é, obter a solução que passa por (x_0,y_0).
Informações relevantes do enunciado:
  • a equação relaciona y' com x e y através do produto x^{3}(y^{2}+1);
  • observe que y^{2}+1>0 para todo y\in\mathbb{R} (portanto nunca se zera);
  • não foi dado um PVI numérico específico, então vamos apresentar a forma geral para um PVI com y(x_0)=y_0.

Passo 2

Reconhecimento e separação de variáveis (sem pular etapas).
  • Vamos tentar isolar as variáveis y e x em lados opostos, porque a equação é do tipo separável: todos os termos que envolvem y podem ficar de um lado e os que envolvem x do outro.
  • Divido ambos os lados por \bigl(y^{2}+1\bigr) (isso é legítimo porque \,y^{2}+1\neq0,):
\frac{y'}{y^{2}+1}=x^{3}.
  • Lembrando que y'=\dfrac{dy}{dx}, reescrevo como diferencial e separo:
\frac{1}{y^{2}+1}\,dy = x^{3}\,dx.
Agora as variáveis estão separadas: y-lado esquerdo, x-lado direito.

Passo 3

Integração de ambos os lados (explicando as integrais usadas).
  • Integramos ambos os lados em relação às suas variáveis:
\int \frac{1}{y^{2}+1}\,dy = \int x^{3}\,dx.
  • Lado esquerdo: sabemos (ou podemos aprender aqui) que a primitiva de \dfrac{1}{1+y^{2}} é \arctan(y). Por quê? Porque \dfrac{d}{dy}\bigl(\arctan(y)\bigr)=\dfrac{1}{1+y^{2}}. Então
\int \frac{1}{y^{2}+1}\,dy = \arctan(y) + C_1.
Aqui C_1 é uma constante de integração.
  • Lado direito: a primitiva de x^{3} é \dfrac{x^{4}}{4}, pois \dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{x^{4}}{4}\right)=x^{3}. Então
\int x^{3}\,dx = \frac{x^{4}}{4} + C_2.
  • Igualando os dois resultados e recolhendo constantes numa só constante C (com C=C_2-C_1), obtemos
\arctan(y) = \frac{x^{4}}{4} + C.

Passo 4

Isolamento de y e obtenção da solução explícita.
  • Para obter y explicitamente, aplicamos a função tangente em ambos os lados (a tangente é a inversa da arctan num intervalo adequado):
y = \tan\!\left(\frac{x^{4}}{4} + C\right).
  • Então a solução geral da EDO é a família
y(x)=\tan\!\left(\frac{x^{4}}{4}+C\right),
onde C\in\mathbb{R} é a constante arbitrária.
  • Observação importante sobre constantes e soluções constantes: não existem soluções constantes y(x)\equiv y_0 que satisfaçam a EDO, porque se y fosse constante, y'=0 e a EDO exigiria 0=x^{3}(y_{0}^{2}+1), o que só seria verdade para todo x se y_{0}^{2}+1=0, o que é impossível. Portanto não há soluções constantes.

Passo 5

Discussão de domínio e existência máxima (por que a solução pode “explodir”).
  • A função \tan tem assíntotas verticais quando o argumento atinge \dfrac{\pi}{2}+k\pi para algum k\in\mathbb{Z}. Logo, a solução y(x)=\tan\!\bigl(\dfrac{x^{4}}{4}+C\bigr) está definida apenas nos intervalos em x onde
\frac{x^{4}}{4}+C \neq \frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
  • Assim, a solução é definida localmente em intervalos de x que não alcançam esses valores do argumento; ao aproximar-se de um desses valores, y(x) tende a \pm\infty.
  • Sobre unicidade e existência: a função f(x,y)=x^{3}(y^{2}+1) é contínua e tem derivada parcial em y, \partial f/\partial y = 2x^{3}y, também contínua. Pelo teorema de existência e unicidade (Picard–Lindelöf), para qualquer PVI com ponto inicial (x_0,y_0) existe uma única solução local passando por esse ponto; e essa solução é precisamente a encontrada acima, restringida ao intervalo maximal onde a tangente não explode.

Passo 6

Como resolver um PVI genérico e um exemplo concreto.
  • Se for dado um PVI y(x_0)=y_0, determinamos C impondo o valor inicial na fórmula \arctan(y)=\dfrac{x^{4}}{4}+C. Substituindo x=x_0 e y=y_0,
\arctan(y_0)=\frac{x_0^{4}}{4}+C \quad\Rightarrow\quad C=\arctan(y_0)-\frac{x_0^{4}}{4}.
  • Portanto a solução do PVI é
y(x)=\tan\!\left(\frac{x^{4}}{4}+\arctan(y_0)-\frac{x_0^{4}}{4}\right).
  • Exemplo rápido: se o PVI for y(0)=0, então C=\arctan(0)-0=0 e a solução é
y(x)=\tan\!\left(\frac{x^{4}}{4}\right).

Resposta

y(x)=\tan\!\left(\dfrac{x^{4}}{4}+C\right),\; C\in\mathbb{R}.\n
Para o PVI y(x_0)=y_0: y(x)=\tan\!\left(\dfrac{x^{4}}{4}+\arctan(y_0)-\dfrac{x_0^{4}}{4}\right).

Exercícios relacionados