Exercício 2.5. Resolva as EDO’s e os PVI’s:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária
e também trata de PVI’s (problemas de valor inicial). As informações que temos são:
- A equação dada é
. - Não foi fornecida nenhuma condição inicial explícita no enunciado; portanto vamos obter a solução geral e, em seguida, mostrar como impor uma condição inicial geral
. - Observe que o lado direito envolve
, logo a expressão não está definida em . Isso indica que devemos tomar cuidado com o domínio (intervalos que não contenham ).
Passo 2
Qual método vamos usar? Aqui é natural usar separação de variáveis. Vou explicar isso devagarinho, como se estivéssemos na prova juntos.
Separação de variáveis significa escrever a equação numa forma em que todos os termos com
fiquem de um lado multiplicando
e todos os termos com
fiquem do outro lado multiplicando
. Depois integramos cada lado. Atenção: não podemos dividir por
se
puder ser zero; por isso sempre checamos se existe uma solução constante que teria sido eliminada por divisão.
No nosso caso a equação é
Para separar, vamos “colocar”
no lado de
e
no lado de
.
Passo 3
Fazendo a separação de variáveis (assumindo temporariamente
para poder dividir por
):
Explicando: eu dividi ambos os lados por
e multipliquei por
. A forma
é exatamente o que queremos para integrar.
Lembre-se: a divisão por
exclui a possibilidade
— então precisamos verificar essa solução separadamente depois.
Passo 4
Agora integramos ambos os lados. Primeiro a integral do lado esquerdo:
Expliquei: a primitiva de
é
.
No lado direito precisamos integrar
. Para integrar isso é conveniente fazer divisão polinomial (ou decomposição):
fazendo a divisão de por
obtemos
fazendo a divisão de
(Verificação rápida:
, e sobra
no numerador, então soma
.)
Assim
Calculando cada primitiva:
Portanto
Passo 5
Agora igualamos as duas primitivas (absorvendo constantes numa só). Da integração obtivemos
onde
é constante arbitrária (combinação de
e
). Vou reorganizar para escrever
explicitamente. Multiplicando por
e definindo
temos
Portanto, para
,
Aqui
é uma constante real arbitrária. Note que a solução só faz sentido onde
(porque usamos
) e onde o denominador não se anula.
Agora voltamos à observação que fizemos antes:
também é solução. Verificação simples: se
então
e o lado direito
, então a igualdade é satisfeita. Essa solução constante não foi obtida ao dividir por
, por isso deve ser citada separadamente.
Passo 6
PVI’s (problemas de valor inicial). Suponha que nos dão
.
Caso 1:
.
Usamos a forma explícita anterior. Partimos de
Usamos a forma explícita anterior. Partimos de
Avaliar em
,
dá
Daí
Substituindo em
(ou reorganizando conforme desejar) obtemos a solução do PVI:
ou seja
Essa fórmula vale para
num intervalo que contenha
e que não atravesse
nem pontos onde o denominador zere.
Caso 2:
.
Então a solução que satisfaz o PVI é (única solução que passa por
, pois o problema é bem comportado: a função do lado direito e sua derivada parcial em
são contínuas em regiões que não contenham
, garantindo unicidade local).
Então a solução que satisfaz o PVI é
Observações sobre existência/uniqueness: a função
é contínua em
e
em qualquer região que não contenha
, e é Lipschitz local em
(pois
é contínua), então por Picard-Lindelöf a solução do PVI com
existe e é única numa vizinhança de
. O ponto
é singular da equação e normalmente limita o intervalo máximo de existência.
Passo 7
Exemplo numérico rápido (só para fixar): se
e
então
Logo a constante dá
na forma
, e a solução fica
Isso ilustra como aplicar uma condição inicial prática.
Resposta
Para o PVI