Exercício 2.5. Resolva as EDO’s e os PVI’s:
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial (PVI):
Informações relevantes dadas:
- A equação diferencial é
. - A condição inicial é
. - Note que aparece
, portanto a variável precisa satisfazer para que esteja definido.]
Passo 2
Vamos separar variáveis — método simples e direto para equações do tipo onde uma função de
multiplica uma função de
. A ideia é escrever todos os termos em
de um lado e os termos em
do outro. Começamos escrevendo a derivada como fração:
Agora separamos
e
:
Explicação didática curta: separar variáveis consiste em manipular a igualdade para obter uma integral em
igual a uma integral em
. Aqui dividimos ambos os lados por
(assumindo
— trataremos do caso zero pela forma da solução) e multiplicamos por
.
Passo 3
Integramos os dois lados. Do lado esquerdo temos a integral elementar
Do lado direito temos
. Vamos calcular
usando integração por partes. A fórmula de integração por partes é
Escolhemos
e
. Então
e
. Assim
Portanto
Passo 4
Igualando as integrais obtidas:
onde
é constante arbitrária (absorvendo
e
). Agora exponenciamos para resolver para
:
Denotando
(constante positiva), obtemos a solução geral em forma explícita:
Como geralmente trabalhamos com solução contínua e a condição inicial vai escolher o sinal e o valor de
, agora aplicamos a condição inicial.
Passo 5
Aplicando a condição inicial
. Como
, substituímos
na expressão
:
Mas
, então
. Assim
Logo
e o sinal é positivo (pois
), portanto a solução particular é
Passo 6
Podemos simplificar a expressão usando identidades exponenciais. Note que
Outra escrita compacta é
Lembrando a questão do domínio, essa solução vale para
(onde
é definido). Boa! Você conseguiu: a separação de variáveis + integração por partes levou direto à solução.