Exercício 1. Resolva as equações abaixo para x \in \mathbb{R} :
2^{x-3}=8

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação para x\in\mathbb{R}:
2^{x-3}=8.
Informações dadas:
  • A base do expoente no lado esquerdo é 2.
  • O expoente é x-3.
  • O lado direito é o número 8, que é um número conhecido.

Passo 2

Um truque padrão para equações exponenciais é escrever ambos os lados com a mesma base, quando possível. Observe que 8 pode ser escrito como potência de 2, porque
8 = 2\cdot2\cdot2 = 2^{3}.
Portanto a equação fica
2^{x-3}=2^{3}.

Passo 3

Usamos a propriedade das potências: se a^{u}=a^{v} com a>0 e a\neq1, então u=v. (Isto vale porque a função exponencial de base fixa é injetora — não dá o mesmo valor para dois expoentes diferentes.) Aplicando aqui:
x-3 = 3.
Agora resolvemos essa equação linear em x:
x-3=3 \quad\Rightarrow\quad x=3+3=6.

Passo 4

Vou mostrar um método alternativo (útil quando não dá para igualar bases): aplicar logaritmo em ambos os lados. Por exemplo, usando log natural \ln:
\ln\bigl(2^{x-3}\bigr)=\ln(8).
Pela propriedade \ln(a^{b})=b\ln(a) obtemos
(x-3)\ln(2)=\ln(8).
Como \ln(8)=\ln(2^{3})=3\ln(2), segue
x-3=3 \quad\Rightarrow\quad x=6.
Resultado igual ao anterior.

Passo 5

Verificação: substituir x=6 na equação original:
2^{6-3}=2^{3}=8,
portanto x=6 é solução correta.

Passo 6

Dicas rápidas para a prova:
  • Tente sempre reescrever números como potências da mesma base; se der, iguale os expoentes.
  • Se não for possível, aplique logaritmo em ambos os lados e use \log(a^{b})=b\log(a).
  • Verifique sempre substituindo a solução na equação original.
    Exemplo extra rápido: resolver \,4^{x}=32. Escreve-se 4=(2^{2}) e 32=2^{5}, então 2^{2x}=2^{5}\Rightarrow 2x=5\Rightarrow x=\tfrac{5}{2}.

Resposta

x=6

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