Exercício 1. Resolva as equações abaixo para x \in \mathbb{R} :
\left(\frac{1}{3}\right)^{x^{2}-4}=27

Passo 1

O enunciado dá a equação para x\in\mathbb{R}:
\left(\frac{1}{3}\right)^{x^{2}-4}=27.
O que se pede: encontrar todos os valores reais de x que satisfazem essa igualdade.

Passo 2

Vamos lembrar uma propriedade útil de potências que usaremos aqui: para qualquer número real a>0, a\neq1, vale que se
a^{u}=a^{v},
então necessariamente
u=v.
Também é útil reescrever frações como potências de inteiros quando possível. Observe que \dfrac{1}{3}=3^{-1} e que 27=3^{3}. Vou usar essas representações para ter a mesma base nas duas parcelas.

Passo 3

Reescrevendo com base 3:
\left(\frac{1}{3}\right)^{x^{2}-4}=(3^{-1})^{x^{2}-4}=3^{-(x^{2}-4)}=3^{-x^{2}+4}.
Do outro lado temos
27=3^{3}.
Logo a equação original fica
3^{-x^{2}+4}=3^{3}.

Passo 4

Como agora as bases são iguais ( 3, que é >0 e diferente de 1), podemos igualar os expoentes:
-x^{2}+4=3.
Resolva essa equação para x. Primeiro isolando x^{2}:
-x^{2}=3-4=-1,
logo
x^{2}=1.

Passo 5

A solução da equação x^{2}=1 são os dois números reais cuja quadrado dá 1, ou seja
x=1\quad\text{ou}\quad x=-1.
Sempre que possível é bom checar substituindo na equação original:
  • Para x=1: x^{2}-4=1-4=-3, então
\left(\frac{1}{3}\right)^{-3}=\left(3^{-1}\right)^{-3}=3^{3}=27,
funciona.
  • Para x=-1: x^{2}-4=1-4=-3 também, e o mesmo cálculo mostra que dá 27.
Ambas as soluções são válidas.

Resposta

x=1
x=-1

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