Determine o domínio máximo e esboce o gráfico das funções abaixo.
f(x)=4+3^{-x}

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=4+3^{-x}
e pede duas coisas: (1) determinar o domínio máximo da função; (2) esboçar o gráfico (ou seja, descrever como é a curva e quais características principais ela tem). As informações relevantes são apenas a expressão acima.

Passo 2

Entendendo a parte exponencial \,3^{-x}\,. Vou explicar devagar:
  • A expressão \,3^{-x}\, significa a potência de base 3 e expoente -x.
  • Podemos reescrever \,3^{-x}\, de duas formas úteis: 3^{-x}=\frac{1}{3^{x}} \qquad\text{ou}\qquad 3^{-x}=(3^{-1})^{x}=\left(\frac{1}{3}\right)^{x}.
  • Essas identidades mostram que \,3^{-x}\, é sempre positiva para todo x\in\mathbb{R} (porque potências de 3 são positivas), e que \,3^{-x}\, é uma função exponencial com base \frac{1}{3} (que está entre 0 e 1), logo é uma função que decai quando x aumenta.

Passo 3

Determinando o domínio. Regra geral: expressões do tipo a^{g(x)} com a>0 (aqui a=3) estão definidas para todo x\in\mathbb{R}. Não há divisão por zero nem raiz par de número negativo etc. Portanto não existe restrição no expoente. Conclusão interativa:
  • Domínio natural/ máximo: todos os números reais \,(-\infty,\infty).

Passo 4

Analisando sinal e imagem da parte 3^{-x}. Como já disse, \,3^{-x}>0 para todo x. Então ao somar 4 obtemos
f(x)=4+3^{-x}>4\quad\text{para todo }x.
Isto nos dá uma informação importante sobre a imagem (conjunto de valores possíveis) de f: nenhum valor menor ou igual a 4 é atingido; todos os valores maiores que 4 podem aparecer (vou justificar que todos maiores que 4 realmente aparecem nos próximos passos).

Passo 5

Comportamento nas extremidades (limites) — isso explica o assíntota horizontal:
  • Quando x\to+\infty, temos \,3^{-x}=\dfrac{1}{3^{x}}\to0^+. Logo \lim_{x\to+\infty}f(x)=4+0=4.Assim a reta \,y=4\, é uma assíntota horizontal pela direita (a curva se aproxima de y=4 por cima).
  • Quando x\to-\infty, temos 3^{-x}=3^{|x|}\to+\infty. Então \lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty.Ou seja, para x muito negativos a função cresce sem limite.

Passo 6

Mostrando que a função é estritamente decrescente (útil para o esboço):
  • Calculo da derivada (apenas para justificar monotonicidade): se g(x)=3^{-x} então g'(x)=3^{-x}\ln(3)\cdot(-1)=-\ln(3)\,3^{-x}.Portanto f'(x)=g'(x)=-\ln(3)\,3^{-x}.
  • Observando que \ln(3)>0 e 3^{-x}>0, temos f'(x)<0 para todo x. Logo f é estritamente decrescente em (-\infty,\infty).

Passo 7

Pontos úteis para desenhar o gráfico (colocar alguns pontos no plano ajuda muito na prova):
  • Intercepto em y (quando x=0): f(0)=4+3^{0}=4+1=5.Então a curva passa por (0,5).
  • Alguns outros pontos fáceis: f(1)=4+3^{-1}=4+\tfrac{1}{3}=\tfrac{13}{3}\approx4{,}333\ldots,
f(2)=4+3^{-2}=4+\tfrac{1}{9}\approx4{,}111\ldots,
f(-1)=4+3^{1}=4+3=7,
f(-2)=4+3^{2}=4+9=13.
  • Não há intercepto com o eixo x porque f(x)>4>0 sempre.

Passo 8

Como esboçar o gráfico passo a passo (como você faria à mão na prova):
  1. Desenhe os eixos x e y.
  2. Trace uma linha horizontal pontilhada em y=4 (essa é a assíntota).
  3. Marque o ponto (0,5) e alguns pontos adicionais como (1,\tfrac{13}{3}), (-1,7).
  4. Como f é contínua, estritamente decrescente e \lim_{x\to+\infty}f(x)=4, desenhe uma curva suave que vem de +\infty quando x\to-\infty, passa por (-2,13), por (-1,7), por (0,5), por (1,4{,}333\ldots) e se aproxima cada vez mais de y=4 à medida que x cresce.
  5. A curva nunca corta a reta y=4 e nunca toma valores \leq4.

Passo 9

Resumo das propriedades importantes (isto é o que normalmente se pede/assinala no esboço):
  • Domínio: todos os reais.
  • Comportamento: decrescente, contínua, sem pontos de descontinuidade.
  • Assíntota horizontal: \,y=4.
  • Imagem (contradomínio efetivo): todos os números maiores que 4, isto é (4,\infty).
  • Intercepto em y: (0,5). Sem intercepto em x.

Resposta

Domínio: (-\infty,\infty)
Imagem (range): (4,\infty)
Função estritamente decrescente; assíntota horizontal y=4; ponto (0,5).

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