Determine o domínio máximo e esboce o gráfico das funções abaixo.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede duas coisas: (1) determinar o domínio máximo da função; (2) esboçar o gráfico (ou seja, descrever como é a curva e quais características principais ela tem). As informações relevantes são apenas a expressão acima.
Passo 2
Entendendo a parte exponencial
. Vou explicar devagar:
- A expressão
significa a potência de base e expoente . - Podemos reescrever
de duas formas úteis: - Essas identidades mostram que
é sempre positiva para todo (porque potências de são positivas), e que é uma função exponencial com base (que está entre e ), logo é uma função que decai quando aumenta.
Passo 3
Determinando o domínio. Regra geral: expressões do tipo
com
(aqui
) estão definidas para todo
. Não há divisão por zero nem raiz par de número negativo etc. Portanto não existe restrição no expoente. Conclusão interativa:
- Domínio natural/ máximo: todos os números reais
.
Passo 4
Analisando sinal e imagem da parte
. Como já disse,
para todo
. Então ao somar
obtemos
Isto nos dá uma informação importante sobre a imagem (conjunto de valores possíveis) de
: nenhum valor menor ou igual a
é atingido; todos os valores maiores que
podem aparecer (vou justificar que todos maiores que
realmente aparecem nos próximos passos).
Passo 5
Comportamento nas extremidades (limites) — isso explica o assíntota horizontal:
- Quando
, temos . Logo Assim a reta é uma assíntota horizontal pela direita (a curva se aproxima de por cima). - Quando
, temos . Então Ou seja, para muito negativos a função cresce sem limite.
Passo 6
Mostrando que a função é estritamente decrescente (útil para o esboço):
- Calculo da derivada (apenas para justificar monotonicidade): se
então Portanto - Observando que
e , temos para todo . Logo é estritamente decrescente em .
Passo 7
Pontos úteis para desenhar o gráfico (colocar alguns pontos no plano ajuda muito na prova):
- Intercepto em
(quando ): Então a curva passa por . - Alguns outros pontos fáceis:
- Não há intercepto com o eixo
porque sempre.
Passo 8
Como esboçar o gráfico passo a passo (como você faria à mão na prova):
- Desenhe os eixos
e . - Trace uma linha horizontal pontilhada em
(essa é a assíntota). - Marque o ponto
e alguns pontos adicionais como , . - Como
é contínua, estritamente decrescente e , desenhe uma curva suave que vem de quando , passa por , por , por , por e se aproxima cada vez mais de à medida que cresce. - A curva nunca corta a reta
e nunca toma valores .
Passo 9
Resumo das propriedades importantes (isto é o que normalmente se pede/assinala no esboço):
- Domínio: todos os reais.
- Comportamento: decrescente, contínua, sem pontos de descontinuidade.
- Assíntota horizontal:
. - Imagem (contradomínio efetivo): todos os números maiores que
, isto é . - Intercepto em
: . Sem intercepto em .
Resposta
Domínio:
Imagem (range):
Função estritamente decrescente; assíntota horizontal ; ponto
.
Imagem (range):
Função estritamente decrescente; assíntota horizontal