Exercício 0.3 Resolva as inequações dadas.
.
Passo 1
O enunciado pede que resolvamos a inequação
Informações dadas:
- A expressão é o produto de duas expressões lineares:
e . - Queremos todos os números reais
que tornam o produto menor ou igual a zero (ou seja, negativo ou zero). - Não há restrições adicionais no enunciado (domínio é todo
).
Passo 2
Identificar os pontos onde cada fator é zero — são os pontos que dividem a reta em intervalos onde o sinal do produto pode mudar. Resolvo:
Esses dois valores,
e
, são as raízes (zeros) dos fatores. Eles são candidatos a fazer o produto ser igual a zero (e como a desigualdade é
, devemos pensar em incluí-los).
Passo 3
Explicar a ideia do método (quadro de sinais) de forma bem didática:
- Um produto de duas quantidades é negativo quando as quantidades têm sinais opostos (uma positiva e a outra negativa).
- O produto é zero se pelo menos um dos fatores é zero.
Portanto, para achar ondeprecisamos saber, em cada intervalo determinado pelas raízes e , o sinal de cada fator e, assim, o sinal do produto.
Passo 4
Determinar o sinal de cada fator em cada um dos três intervalos formados por
e
:
Os intervalos são
Os intervalos são
Agora analiso cada fator:
- Para
: - Se
então . - Se
então . (Em é zero.)
- Se
- Para
: - Se
então . - Se
então . (Em é zero.)
- Se
Passo 5
Montar o quadro de sinais do produto usando as informações anteriores (vou explicar em palavras para não misturar texto dentro de uma fórmula):
- Em
: e → produto . - Em
: e → produto . - Em
: e → produto .
Além disso, emo produto vale (porque ), e em o produto vale (porque ).
Passo 6
Interpretar a inequação
:
- Queremos pontos onde o produto é negativo ou zero.
- Pelo quadro de sinais, o produto é negativo em
e em . - O produto é zero em
e em .
Portanto, a solução inclui os dois intervalos onde o produto é negativo mais os pontos onde é zero.
Passo 7
Escrever a solução final em forma de união de intervalos: