Exercício 0.3 Resolva as inequações dadas.
(2 x-1)(3-2 x) \leq 0.

Passo 1

O enunciado pede que resolvamos a inequação
(2x-1)(3-2x) \leq 0.
Informações dadas:
  • A expressão é o produto de duas expressões lineares: 2x-1 e 3-2x.
  • Queremos todos os números reais x que tornam o produto menor ou igual a zero (ou seja, negativo ou zero).
  • Não há restrições adicionais no enunciado (domínio é todo \mathbb{R}).

Passo 2

Identificar os pontos onde cada fator é zero — são os pontos que dividem a reta em intervalos onde o sinal do produto pode mudar. Resolvo:
2x-1=0 \implies x=\frac{1}{2},
3-2x=0 \implies 2x=3 \implies x=\frac{3}{2}.
Esses dois valores, \frac{1}{2} e \frac{3}{2}, são as raízes (zeros) dos fatores. Eles são candidatos a fazer o produto ser igual a zero (e como a desigualdade é \leq 0, devemos pensar em incluí-los).

Passo 3

Explicar a ideia do método (quadro de sinais) de forma bem didática:
  • Um produto de duas quantidades é negativo quando as quantidades têm sinais opostos (uma positiva e a outra negativa).
  • O produto é zero se pelo menos um dos fatores é zero.
    Portanto, para achar onde (2x-1)(3-2x)\le 0 precisamos saber, em cada intervalo determinado pelas raízes \frac{1}{2} e \frac{3}{2}, o sinal de cada fator e, assim, o sinal do produto.

Passo 4

Determinar o sinal de cada fator em cada um dos três intervalos formados por \frac{1}{2} e \frac{3}{2}:
Os intervalos são
(-\infty,\tfrac{1}{2}),\quad \left(\tfrac{1}{2},\tfrac{3}{2}\right),\quad \left(\tfrac{3}{2},\infty\right).
Agora analiso cada fator:
  • Para 2x-1:
    • Se x<\tfrac{1}{2} então 2x-1<0.
    • Se \tfrac{1}{2}<x então 2x-1>0. (Em x=\tfrac{1}{2} é zero.)
  • Para 3-2x:
    • Se x<\tfrac{3}{2} então 3-2x>0.
    • Se x>\tfrac{3}{2} então 3-2x<0. (Em x=\tfrac{3}{2} é zero.)

Passo 5

Montar o quadro de sinais do produto usando as informações anteriores (vou explicar em palavras para não misturar texto dentro de uma fórmula):
  • Em (-\infty,\tfrac{1}{2}): 2x-1<0 e 3-2x>0 → produto <0.
  • Em \left(\tfrac{1}{2},\tfrac{3}{2}\right): 2x-1>0 e 3-2x>0 → produto >0.
  • Em \left(\tfrac{3}{2},\infty\right): 2x-1>0 e 3-2x<0 → produto <0.
    Além disso, em x=\tfrac{1}{2} o produto vale 0 (porque 2x-1=0), e em x=\tfrac{3}{2} o produto vale 0 (porque 3-2x=0).

Passo 6

Interpretar a inequação \leq 0:
  • Queremos pontos onde o produto é negativo ou zero.
  • Pelo quadro de sinais, o produto é negativo em (-\infty,\tfrac{1}{2}) e em \left(\tfrac{3}{2},\infty\right).
  • O produto é zero em x=\tfrac{1}{2} e em x=\tfrac{3}{2}.
    Portanto, a solução inclui os dois intervalos onde o produto é negativo mais os pontos onde é zero.

Passo 7

Escrever a solução final em forma de união de intervalos:
(-\infty,\tfrac{1}{2}] \cup [\tfrac{3}{2},\infty).

Resposta

(-\infty,\tfrac{1}{2}] \cup [\tfrac{3}{2},\infty)

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