As equações (x-a)(x-b)=0 e x^{2}-2=0, onde a, b são números racionais podem ou não ter raízes comuns?

Passo 1

O enunciado dá duas equações e pede para saber se elas podem ter raízes em comum. As informações relevantes são:
  • A primeira equação é (x-a)(x-b)=0, com a e b números racionais.
  • A segunda equação é x^{2}-2=0.
  • Pergunta: essas duas equações podem ter raízes comuns? Ou seja, algum dos valores a ou b pode ser também raiz de x^{2}-2=0?

Passo 2

Lembrando o que significa ser raiz: se r é raiz de um polinômio, então ao substituir x=r o polinômio vale zero. Da equação (x-a)(x-b)=0 segue imediatamente que as raízes desta equação são exatamente x=a e x=b. Ou seja, as únicas possibilidades de interseção com outra equação são a ou b.

Passo 3

Agora vamos encontrar as raízes da segunda equação x^{2}-2=0. Resolvendo:
x^{2}-2=0 \iff x^{2}=2 \iff x=\pm\sqrt{2}.
Portanto, as raízes são x=\sqrt{2} e x=-\sqrt{2}.

Passo 4

Para concluir se a ou b podem coincidir com \pm\sqrt{2} precisamos saber se \sqrt{2} é racional ou irracional. Vou provar que \sqrt{2} é irracional por contradição (prova clássica, passo a passo):
Suponha, para contradizer, que \sqrt{2} seja racional. Então existem inteiros p e q\neq 0 tais que
\sqrt{2}=\frac{p}{q},
com a fração na forma irredutível (ou seja, \gcd(p,q)=1). Elevando ao quadrado:
2=\frac{p^{2}}{q^{2}} \iff p^{2}=2q^{2}.
Da igualdade p^{2}=2q^{2} segue que p^{2} é par, logo p é par. Escreva p=2k para algum inteiro k. Substituindo:
(2k)^{2}=2q^{2} \iff 4k^{2}=2q^{2} \iff 2k^{2}=q^{2}.
Assim q^{2} é par, logo q é par. Concluímos que tanto p quanto q são pares, o que contradiz a hipótese de que a fração \tfrac{p}{q} estava na forma irredutível ( \gcd(p,q)=1). Essa contradição mostra que a suposição inicial é falsa. Portanto \sqrt{2} é irracional. Consequentemente -\sqrt{2} também é irracional.

Passo 5

Já sabemos que as raízes de x^{2}-2=0 são \pm\sqrt{2} e que esses números são irracionais. Como a e b são racionais, nenhum deles pode ser igual a um número irracional. Logo nenhum de a ou b pode coincidir com \sqrt{2} ou com -\sqrt{2}.

Passo 6

Portanto, com a hipótese dada de que a e b são racionais, não existe possibilidade de as duas equações terem raízes em comum. (Observação rápida: se a hipótese sobre a,b fosse diferente — por exemplo se a ou b pudessem ser irracionais — aí sim poderiam coincidir com \pm\sqrt{2}; mas isso não é o caso do enunciado.)

Resposta

Não. As equações não podem ter raízes comuns, pois as raízes de x^{2}-2=0 são \pm\sqrt{2}, que são irracionais, enquanto a e b são racionais.

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