As equações
e
, onde
são números racionais podem ou não ter raízes comuns?
Passo 1
O enunciado dá duas equações e pede para saber se elas podem ter raízes em comum. As informações relevantes são:
- A primeira equação é
, com e números racionais. - A segunda equação é
. - Pergunta: essas duas equações podem ter raízes comuns? Ou seja, algum dos valores
ou pode ser também raiz de ?
Passo 2
Lembrando o que significa ser raiz: se
é raiz de um polinômio, então ao substituir
o polinômio vale zero. Da equação
segue imediatamente que as raízes desta equação são exatamente
e
. Ou seja, as únicas possibilidades de interseção com outra equação são
ou
.
Passo 3
Agora vamos encontrar as raízes da segunda equação
. Resolvendo:
Portanto, as raízes são
e
.
Passo 4
Para concluir se
ou
podem coincidir com
precisamos saber se
é racional ou irracional. Vou provar que
é irracional por contradição (prova clássica, passo a passo):
Suponha, para contradizer, que
seja racional. Então existem inteiros
e
tais que
com a fração na forma irredutível (ou seja,
). Elevando ao quadrado:
Da igualdade
segue que
é par, logo
é par. Escreva
para algum inteiro
. Substituindo:
Assim
é par, logo
é par. Concluímos que tanto
quanto
são pares, o que contradiz a hipótese de que a fração
estava na forma irredutível (
). Essa contradição mostra que a suposição inicial é falsa. Portanto
é irracional. Consequentemente
também é irracional.
Passo 5
Já sabemos que as raízes de
são
e que esses números são irracionais. Como
e
são racionais, nenhum deles pode ser igual a um número irracional. Logo nenhum de
ou
pode coincidir com
ou com
.
Passo 6
Portanto, com a hipótese dada de que
e
são racionais, não existe possibilidade de as duas equações terem raízes em comum. (Observação rápida: se a hipótese sobre
fosse diferente — por exemplo se
ou
pudessem ser irracionais — aí sim poderiam coincidir com
; mas isso não é o caso do enunciado.)
Resposta
Não. As equações não podem ter raízes comuns, pois as raízes de
são
, que são irracionais, enquanto
e
são racionais.