Resolva a equação x^{4}-4 x^{2}+8 x+35=0 sabendo que uma das raízes é 2+i \sqrt{3}.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
x^{4}-4 x^{2}+8 x+35=0
sabendo que uma das raízes é \,2+i\sqrt{3}.\n
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação é um polinômio de grau 4 com coeficientes reais: o polinômio é p(x)=x^{4}-4 x^{2}+8 x+35.\n
  • Foi dada uma raiz complexa: x_{1}=2+i\sqrt{3}.\n
    O objetivo é encontrar todas as raízes (todas as soluções complexas) da equação.

Passo 2

Teoria necessária e aplicação imediata: quando um polinômio tem coeficientes reais e \,a+bi (com b\neq0) é raiz, então o complexo conjugado \,a-bi também é raiz. Isso decorre do fato de que as operações com coeficientes reais preservam conjugação.\n
Aplicando aqui: como \,2+i\sqrt{3} é raiz, então o conjugado \,2-i\sqrt{3} também é raiz.\n
Essas duas raízes complexas geram um fator quadrático real obtido por multiplicar os fatores lineares correspondentes:
(x-(2+i\sqrt{3}))(x-(2-i\sqrt{3})).
Calculemos esse produto. Note que x-(2\pm i\sqrt{3})=(x-2)\mp i\sqrt{3}, então
(x-2+i\sqrt{3})(x-2-i\sqrt{3})=(x-2)^{2}+( \sqrt{3})^{2}=(x-2)^{2}+3.
Expandindo:
(x-2)^{2}+3 = x^{2}-4x+4+3 = x^{2}-4x+7.
Portanto x^{2}-4x+7 é um fator real de p(x).

Passo 3

Estratégia para terminar a fatoração: dividir p(x)\) por \(x^{2}-4x+7\) ou assumir uma fatoração do tipo \[p(x)=(x^{2}-4x+7)(x^{2}+ax+b)
e determinar a e b comparando coeficientes. Vou usar comparação de coeficientes, que é simples e confiável.\n
Expandimos o produto:
(x^{2}-4x+7)(x^{2}+ax+b)=x^{4}+(a-4)x^{3}+(b-4a+7)x^{2}+(-4b+7a)x+7b.
Esse polinômio deve ser igual a x^{4}-4x^{2}+8x+35. Igualando coeficientes termo a termo obtemos o sistema:
\begin{cases} a-4=0,\\[4pt] b-4a+7=-4,\\[4pt] -4b+7a=8,\\[4pt] 7b=35. \end{cases}
Resolva passo a passo: da primeira equação a-4=0\] segue \(a=4.\n
Da última equação 7b=35 segue b=5.\n
Verificamos as equações do meio para consistência: substituindo a=4 e b=5 em b-4a+7 temos 5-16+7=-4 (ok) e em -4b+7a temos -20+28=8 (ok). Tudo coerente.]

Passo 4

Concluímos a fatoração:
x^{4}-4x^{2}+8x+35=(x^{2}-4x+7)(x^{2}+4x+5).
Agora resolvemos cada fator quadrático igualando a zero.\n
Primeiro fator (já conhecido das raízes dadas):
x^{2}-4x+7=0.
Aplicando a fórmula quadrática \displaystyle x=\frac{-B\pm\sqrt{B^{2}-4AC}}{2A} com A=1, B=-4, C=7 (ou percebendo que esse quadrático foi obtido de (x-(2+i\sqrt3))(x-(2-i\sqrt3))), obtemos as raízes
x=2\pm i\sqrt{3},
que conferem com a raiz dada.\n
Segundo fator:
x^{2}+4x+5=0.
Aplicando a fórmula quadrática com A=1, B=4, C=5:
\Delta=B^{2}-4AC=4^{2}-4\cdot1\cdot5=16-20=-4.
Como \Delta=-4, as raízes são complexas:
x=\frac{-4\pm\sqrt{-4}}{2}=\frac{-4\pm 2i}{2}=-2\pm i.

Passo 5

Resumo das quatro raízes encontradas: das duas primeiras já sabíamos uma delas, e das últimas duas obtivemos por fatoração e fórmula quadrática. As quatro raízes do polinômio são:
2+i\sqrt{3},\quad 2-i\sqrt{3},\quad -2+i,\quad -2-i.

Resposta

2+i\sqrt{3}\n
2-i\sqrt{3}\n
-2+i\n
-2-i

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