Exercício 0.7 Resolva as inequações em \mathbb{R} abaixo
|x|^{3 x^{2}-4 x-4}>1

Passo 1

O que o problema pede: resolver em \mathbb{R} a inequação
|x|^{3x^{2}-4x-4}>1.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A expressão é uma potência com base |x| (sempre não negativa) e expoente 3x^{2}-4x-4.
  • Temos que encontrar todos os valores de x\in\mathbb{R} que tornam a expressão estritamente maior que 1.
  • Pontos a observar (informações que já vêm do enunciado):
    • |x|=0 ocorre em x=0.
    • |x|=1 ocorre em x=1 e x=-1.
    • Para outros x, a base |x| é ou maior que 1 ( |x|>1) ou está entre 0 e 1 ( 0<|x|<1).
  • A resolução seguirá analisando esses casos, porque o sinal da desigualdade para potências depende do valor da base em relação a 1 e do sinal do expoente.

Passo 2

Tratar os casos especiais que já podemos excluir ou testar diretamente: \,x=0,\;x=1,\;x=-1.
  • Para x=0: |x|=0. Se o expoente for positivo, 0^{\text{positivo}}=0\le1. Se o expoente for zero ou negativo, a expressão é 0^{0} (indeterminado) ou não definida/infinitamente grande; em qualquer caso não vale estritamente >1. Conclusão: x=0 não satisfaz a inequação.
  • Para x=1: |1|=1 então 1^{\text{qualquer}}=1, não é >1. Logo x=1 não é solução.
  • Para x=-1: |-1|=1 então também 1^{\text{qualquer}}=1. Logo x=-1 não é solução.
Resumo deste passo: x\in\{0,1,-1\} são excluídos da solução.

Passo 3

Relembrando uma regra básica (aula rápida, simples e importante):
  • Se a base a satisfaz a>1, então a^{t}>1 exatamente quando t>0. Exemplo: 2^{3}=8>1, 2^{-1}=1/2<1.
  • Se a base a satisfaz 0<a<1, então a^{t}>1 exatamente quando t<0. Exemplo: (1/2)^{-1}=2>1, (1/2)^{2}=1/4<1.
  • A base a=1 dá sempre 1^{t}=1 (não estritamente maior que 1).
  • A base a=0 nunca produz algo >1 num sentido bem definido para expoentes reais.
Aqui a base é a=|x|\ge0. Portanto dividimos a resolução em dois grandes casos:
A) |x|>1 (base maior que 1) → precisamos de 3x^{2}-4x-4>0.
B) 0<|x|<1 (base entre 0 e 1) → precisamos de 3x^{2}-4x-4<0.

Passo 4

Vamos estudar o sinal do expoente f(x)=3x^{2}-4x-4. Isso é uma inequação quadrática; para resolvê-la primeiro encontramos as raízes da equação associada
3x^{2}-4x-4=0.
Calculamos o discriminante:
\Delta = (-4)^{2}-4\cdot 3\cdot(-4)=16+48=64.
Portanto as raízes são
x=\frac{4\pm\sqrt{64}}{2\cdot 3}=\frac{4\pm 8}{6}.
Isso dá as raízes
x_{1}=\frac{4-8}{6}=-\frac{4}{6}=-\frac{2}{3},\qquad x_{2}=\frac{4+8}{6}=\frac{12}{6}=2.

Passo 5

Analisando o sinal da parábola f(x)=3x^{2}-4x-4:
  • Como o coeficiente de x^{2} é 3>0, a parábola abre para cima.
  • Logo f(x)>0 para x<-\tfrac{2}{3} ou x>2.
  • E f(x)<0 para -\tfrac{2}{3}<x<2.
  • Em x=-\tfrac{2}{3} ou x=2 temos f(x)=0.

Passo 6

Agora juntamos com o caso A: |x|>1 e f(x)>0.
  • |x|>1 equivale a x>1 ou x<-1.
  • f(x)>0 é x<-\tfrac{2}{3} ou x>2.
Fazendo interseções:
  • Para a parte x>1: intersectando com x>2 (a parte de f(x)>0) fica x>2, isto é (2,\infty).
  • Para a parte x<-1: note que todo x<-1 também satisfaz x<-\tfrac{2}{3} (porque -1<-\tfrac{2}{3} numericamentente, então valores menores que -1 são menores que -\tfrac{2}{3}). Portanto a interseção é toda a semi-reta x<-1, ou seja (-\infty,-1).
Conclusão do caso A: soluções vindas deste caso são
(-\infty,-1)\cup(2,\infty).

Passo 7

Agora o caso B: 0<|x|<1 e f(x)<0.
  • 0<|x|<1 equivale a -1<x<0 ou 0<x<1.
  • f(x)<0 é -\tfrac{2}{3}<x<2.
Fazendo interseções:
  • Para -1<x<0 intersectado com -\tfrac{2}{3}<x<2 obtemos -\tfrac{2}{3}<x<0.
  • Para 0<x<1 intersectado com -\tfrac{2}{3}<x<2 obtemos 0<x<1.
Portanto as soluções vindas do caso B são
\left(-\tfrac{2}{3},0\right)\cup(0,1).
Lembre-se que x=0 foi excluído (já checamos) e x=\pm1 também foram excluídos.

Passo 8

Juntando os resultados dos dois casos A e B, a solução completa da inequação é a união das quatro partes:
(-\infty,-1)\\ \cup\\ \left(-\tfrac{2}{3},0\right)\\ \cup\\ (0,1)\\ \cup\\ (2,\infty).
Observações finais (resumindo exclusões):
  • Os pontos x=-1,\;x=-\tfrac{2}{3},\;x=0,\;x=1,\;x=2 não pertencem à solução (em todos esses a expressão vale 1, é indefinida, ou não é estritamente maior que 1).

Resposta

(-\infty,-1)\cup\left(-\tfrac{2}{3},0\right)\cup(0,1)\cup(2,\infty)

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