Exercício 0.7 Resolva as inequações em
abaixo
Passo 1
O que o problema pede: resolver em
a inequação
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A expressão é uma potência com base
(sempre não negativa) e expoente . - Temos que encontrar todos os valores de
que tornam a expressão estritamente maior que . - Pontos a observar (informações que já vêm do enunciado):
-
ocorre em . -
ocorre em e . - Para outros
, a base é ou maior que ( ) ou está entre e ( ).
-
- A resolução seguirá analisando esses casos, porque o sinal da desigualdade para potências depende do valor da base em relação a
e do sinal do expoente.
Passo 2
Tratar os casos especiais que já podemos excluir ou testar diretamente:
- Para
: . Se o expoente for positivo, . Se o expoente for zero ou negativo, a expressão é (indeterminado) ou não definida/infinitamente grande; em qualquer caso não vale estritamente . Conclusão: não satisfaz a inequação. - Para
: então , não é . Logo não é solução. - Para
: então também . Logo não é solução.
Resumo deste passo:
são excluídos da solução.
Passo 3
Relembrando uma regra básica (aula rápida, simples e importante):
- Se a base
satisfaz , então exatamente quando . Exemplo: , . - Se a base
satisfaz , então exatamente quando . Exemplo: , . - A base
dá sempre (não estritamente maior que ). - A base
nunca produz algo num sentido bem definido para expoentes reais.
Aqui a base é
. Portanto dividimos a resolução em dois grandes casos:
A) (base maior que 1) → precisamos de
.
B) (base entre 0 e 1) → precisamos de
.
A)
B)
Passo 4
Vamos estudar o sinal do expoente
. Isso é uma inequação quadrática; para resolvê-la primeiro encontramos as raízes da equação associada
Calculamos o discriminante:
Portanto as raízes são
Isso dá as raízes
Passo 5
Analisando o sinal da parábola
:
- Como o coeficiente de
é , a parábola abre para cima. - Logo
para ou . - E
para . - Em
ou temos .
Passo 6
Agora juntamos com o caso A:
e
.
-
equivale a ou . -
é ou .
Fazendo interseções:
- Para a parte
: intersectando com (a parte de ) fica , isto é . - Para a parte
: note que todo também satisfaz (porque numericamentente, então valores menores que são menores que ). Portanto a interseção é toda a semi-reta , ou seja .
Conclusão do caso A: soluções vindas deste caso são
Passo 7
Agora o caso B:
e
.
-
equivale a ou . -
é .
Fazendo interseções:
- Para
intersectado com obtemos . - Para
intersectado com obtemos .
Portanto as soluções vindas do caso B são
Lembre-se que
foi excluído (já checamos) e
também foram excluídos.
Passo 8
Juntando os resultados dos dois casos A e B, a solução completa da inequação é a união das quatro partes:
Observações finais (resumindo exclusões):
- Os pontos
não pertencem à solução (em todos esses a expressão vale , é indefinida, ou não é estritamente maior que ).