Exercício 0.7 Resolva as inequações em \mathbb{R} abaixo
x^{4 x^{2}-17 x+5}<x

Passo 1

O enunciado pede para resolver em \mathbb{R} a inequação
x^{4x^{2}-17x+5}<x.
Dados importantes que o enunciado fornece (resumindo claramente o que é pedido):
  • A incógnita é x e queremos todos os valores reais que satisfazem \;x^{4x^{2}-17x+5}<x.
  • O expoente é a expressão polinomial E(x)=4x^{2}-17x+5.
  • A base da potência é a própria incógnita x. Isto significa que a existência/definição de x^{E(x)} depende do sinal/valor de x.
    Nada mais é dado; a resolução seguirá examinando os casos possíveis para x (positivos, zero e negativos) e usando técnicas adequadas em cada caso.

Passo 2

Observação sobre a definição da potência com expoente real (importante para saber onde a inequação faz sentido):
  • Para um expoente real arbitrário, a expressão x^{a} está bem definida como número real apenas quando x>0. Nessa situação podemos aplicar logaritmo e manipular normalmente.
  • O caso x=0 só faz sentido quando o expoente é positivo (então 0^{a}=0 se a>0); se o expoente \le 0 a expressão não é definida (ou é infinita).
  • Para x<0 a potência x^{a} geralmente não é um número real se a não for inteiro (ou racional com denominador ímpar em certa forma). Tratar todos esses subcasos é muito técnico e gera soluções isoladas complicadas. Por isso, e seguindo o costume em exercícios deste tipo, primeiro vamos resolver no domínio natural x>0 (onde tudo é contínuo e bem definido). Depois discutimos rapidamente x=0 e a possibilidade de x<0.
    Portanto: primeiro resolvemos a inequação para \;x>0.

Passo 3

Para x>0 ambas as expressões x^{E(x)} e x são positivas, então podemos aplicar o logaritmo natural (função estritamente crescente) e manter a desigualdade. Tomando ln dos dois lados:
\ln\bigl(x^{E(x)}\bigr) < \ln(x).
Usando a propriedade \ln(a^{b}) = b\ln(a) (válida para a>0), obtemos:
E(x)\,\ln x < \ln x.

Passo 4

Reorganizando a desigualdade do passo anterior:
\bigl(E(x)-1\bigr)\ln x < 0,
onde lembramos que E(x)=4x^{2}-17x+5. Assim precisamos estudar o sinal do produto \bigl(E(x)-1\bigr)\cdot \ln x para x>0.

Passo 5

Analisamos o sinal de \ln x e de E(x)-1 separadamente:
  • \ln x<0 quando 0<x<1.
  • \ln x=0 quando x=1.
  • \ln x>0 quando x>1.
Agora calculamos E(x)-1:
E(x)-1 = 4x^{2}-17x+5-1 = 4x^{2}-17x+4.
Vamos achar as raízes dessa quadrática para saber onde ela muda de sinal. O discriminante é
\Delta = (-17)^{2}-4\cdot 4\cdot 4 = 289-64=225,
logo \sqrt{\Delta}=15. As raízes são
x=\frac{17\pm 15}{8} \Rightarrow x=\frac{2}{8}=\tfrac{1}{4}\quad\text{e}\quad x=\frac{32}{8}=4.
Como o coeficiente de x^{2} é positivo ( 4), a quadrática abre para cima, portanto
E(x)-1>0 \quad\text{se e somente se}\quad x<\tfrac{1}{4}\\ \text{ou}\\ x>4,
e
E(x)-1<0 \quad\text{se e somente se}\quad \tfrac{1}{4}<x<4.

Passo 6

Voltando à condição \bigl(E(x)-1\bigr)\ln x<0 e usando a análise dos sinais:
  • Para 0<x<1 temos \ln x<0. Para o produto ser negativo precisamos de E(x)-1>0. Pela análise do passo anterior isso significa 0<x<1 e x<\tfrac{1}{4}, isto é:
0<x<\tfrac{1}{4}.
  • Para x>1 temos \ln x>0. Para o produto ser negativo precisamos de E(x)-1<0. Isso dá x>1 e \tfrac{1}{4}<x<4, isto é:
1<x<4.
  • Se x=1 temos \ln x=0, a desigualdade torna-se 0<0 após o passo com logaritmo, o que é falso; de forma direta 1^{E(1)}=1 e 1<1 é falso. Logo x=1 não é solução.
  • Se E(x)-1=0 (ou seja x=\tfrac{1}{4} ou x=4), então o produto é 0\cdot\ln x=0 e novamente não satisfaz <0. Portanto x=\tfrac{1}{4} e x=4 também não são soluções.
Combinando os dois subcasos (0<x<1/4) e (1<x<4) obtemos, no domínio x>0, as soluções:
(0,\tfrac{1}{4})\\ \cup\\ (1,4).

Passo 7

Agora verificamos rapidamente x=0 e x<0 para não deixar pontas soltas:
  • Para x=0: a expressão 0^{E(0)} só está definida se E(0)>0. Calculando E(0)=5 (positivo), então 0^{5}=0. A desigualdade pediria 0<0, que é falsa. Portanto x=0 não é solução.
  • Para x<0: como explicado no passo 2, a potência x^{E(x)} com expoente real só é garantidamente real quando x>0. Para x<0 a expressão só é real em casos especiais (por exemplo quando E(x) é inteiro), o que geraria soluções isoladas e uma análise bem mais técnica. Muitas resoluções e programas de prova adotam a convenção natural de trabalhar com potências reais para bases positivas e tratar x\le 0 só por verificação pontual. Para evitar análise excessivamente técnica e porque o exercício, na sua forma padrão, visa a resolução pelo caso x>0, consideramos a solução no domínio x>0 (já encontrada). Se o professor quisesse incluir todos os casos x<0 com expoentes inteiros, isso deveria ter sido destacado no enunciado — caso contrário a convenção usual é restringir a x>0.
Resumo: x=0 não é solução. Casos x<0 dão, em geral, potências não reais e não são considerados no tratamento padrão; soluções isoladas podem existir para valores de x<0 tais que E(x) seja inteiro ímpar e certas desigualdades se verifiquem, mas isso foge ao escopo padrão e não aparece na solução comum.

Resposta

(0,\tfrac{1}{4})\cup(1,4)

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