Exercício 0.7 Resolva as inequações em
abaixo
Passo 1
O enunciado pede para resolver em
a inequação
Dados importantes que o enunciado fornece (resumindo claramente o que é pedido):
- A incógnita é
e queremos todos os valores reais que satisfazem . - O expoente é a expressão polinomial
. - A base da potência é a própria incógnita
. Isto significa que a existência/definição de depende do sinal/valor de .
Nada mais é dado; a resolução seguirá examinando os casos possíveis para(positivos, zero e negativos) e usando técnicas adequadas em cada caso.
Passo 2
Observação sobre a definição da potência com expoente real (importante para saber onde a inequação faz sentido):
- Para um expoente real arbitrário, a expressão
está bem definida como número real apenas quando . Nessa situação podemos aplicar logaritmo e manipular normalmente. - O caso
só faz sentido quando o expoente é positivo (então se ); se o expoente a expressão não é definida (ou é infinita). - Para
a potência geralmente não é um número real se não for inteiro (ou racional com denominador ímpar em certa forma). Tratar todos esses subcasos é muito técnico e gera soluções isoladas complicadas. Por isso, e seguindo o costume em exercícios deste tipo, primeiro vamos resolver no domínio natural (onde tudo é contínuo e bem definido). Depois discutimos rapidamente e a possibilidade de .
Portanto: primeiro resolvemos a inequação para.
Passo 3
Para
ambas as expressões
e
são positivas, então podemos aplicar o logaritmo natural (função estritamente crescente) e manter a desigualdade. Tomando ln dos dois lados:
Usando a propriedade
(válida para
), obtemos:
Passo 4
Reorganizando a desigualdade do passo anterior:
onde lembramos que
. Assim precisamos estudar o sinal do produto
para
.
Passo 5
Analisamos o sinal de
e de
separadamente:
-
quando . -
quando . -
quando .
Agora calculamos
:
Vamos achar as raízes dessa quadrática para saber onde ela muda de sinal. O discriminante é
logo
. As raízes são
Como o coeficiente de
é positivo (
), a quadrática abre para cima, portanto
e
Passo 6
Voltando à condição
e usando a análise dos sinais:
- Para
temos . Para o produto ser negativo precisamos de . Pela análise do passo anterior isso significa e , isto é:
- Para
temos . Para o produto ser negativo precisamos de . Isso dá e , isto é:
- Se
temos , a desigualdade torna-se após o passo com logaritmo, o que é falso; de forma direta e é falso. Logo não é solução. - Se
(ou seja ou ), então o produto é e novamente não satisfaz . Portanto e também não são soluções.
Combinando os dois subcasos (0<x<1/4) e (1<x<4) obtemos, no domínio
, as soluções:
Passo 7
Agora verificamos rapidamente
e
para não deixar pontas soltas:
- Para
: a expressão só está definida se . Calculando (positivo), então . A desigualdade pediria , que é falsa. Portanto não é solução. - Para
: como explicado no passo 2, a potência com expoente real só é garantidamente real quando . Para a expressão só é real em casos especiais (por exemplo quando é inteiro), o que geraria soluções isoladas e uma análise bem mais técnica. Muitas resoluções e programas de prova adotam a convenção natural de trabalhar com potências reais para bases positivas e tratar só por verificação pontual. Para evitar análise excessivamente técnica e porque o exercício, na sua forma padrão, visa a resolução pelo caso , consideramos a solução no domínio (já encontrada). Se o professor quisesse incluir todos os casos com expoentes inteiros, isso deveria ter sido destacado no enunciado — caso contrário a convenção usual é restringir a .
Resumo:
não é solução. Casos
dão, em geral, potências não reais e não são considerados no tratamento padrão; soluções isoladas podem existir para valores de
tais que
seja inteiro ímpar e certas desigualdades se verifiquem, mas isso foge ao escopo padrão e não aparece na solução comum.