Exercício 0.7 Resolva as inequações em \mathbb{R} abaixo
x^{x^{2}}>x^{2 x}

Passo 1

O enunciado pede para resolver, no conjunto dos reais, a inequação
x^{x^{2}} > x^{2x}.
Informações dadas e observações imediatas que precisamos registrar sem resolver ainda:
  • As expressões envolvem potências com expoentes que dependem de x: \;x^{x^{2}}\; e \;x^{2x}.
  • Em matemática real, a expressão \;a^{b}\; está bem definida para todo b quando a base a é positiva ( a>0). Para a=0 ou a<0 há restrições e casos especiais.
  • Portanto temos que cuidar do domínio: valores de x para os quais ambas as potências são números reais bem definidos.
  • O enunciado quer todos os x\in\mathbb{R} que satisfazem a desigualdade, considerando apenas valores nos quais a expressão faça sentido como número real.

Passo 2

Vamos estudar primeiro o domínio onde as potências são claramente definidas: \;x>0.
Explicação didática curtinha: para qualquer base positiva x>0 e qualquer expoente real, x^{\text{(expoente real)}} é bem definido e positivo. Então, para x>0 podemos comparar as duas potências normalmente usando logaritmo natural porque a função \ln é estritamente crescente e está definida para argumentos positivos.

Passo 3

Para x>0 aplicamos \ln em ambos os lados da desigualdade. Como \ln é estritamente crescente, a desigualdade não muda de sentido. Temos
\ln\!\big(x^{x^{2}}\big) > \ln\!\big(x^{2x}\big).
Usamos a propriedade \ln(a^b)=b\ln a. Assim
x^{2}\ln x > 2x\ln x.

Passo 4

Reescrevendo a desigualdade obtida:
x^{2}\ln x - 2x\ln x > 0.
Colocando em fator comum:
(x^{2}-2x)\ln x > 0.
Fatorando x^{2}-2x:
x(x-2)\ln x > 0.
Agora devemos analisar o sinal do produto de três fatores: x, (x-2) e \ln x, para x>0.

Passo 5

Determinamos os pontos críticos que anulam algum fator: x=0 (mas já fora do intervalo x>0), x=1 (pois \ln 1=0) e x=2 (pois x-2=0). Assim as regiões a analisar em (0,\infty) são:
(0,1), (1,2) e (2,\infty).
Vamos avaliar o sinal do produto x(x-2)\ln x em cada intervalo:
  • Em (0,1): x>0 (positivo), x-2<0 (negativo), \ln x<0 (negativo). Produto: +\cdot -\cdot - = +. Logo a desigualdade vale em todo (0,1).
  • Em (1,2): x>0 (positivo), x-2<0 (negativo), \ln x>0 (positivo). Produto: +\cdot -\cdot + = -. Logo a desigualdade não vale em (1,2).
  • Em (2,\infty): x>0 (positivo), x-2>0 (positivo), \ln x>0 (positivo). Produto: +\cdot +\cdot + = +. Logo a desigualdade vale em todo (2,\infty).
Também verificamos os pontos x=1 e x=2: nesses pontos o produto é zero ( \ln 1=0 ou x-2=0), então a desigualdade estrita > não é satisfeita em x=1 e x=2.
Conclusão provisória para x>0: a solução é
(0,1)\cup(2,\infty).

Passo 6

Agora precisamos tratar x\le 0. Aqui as potências com base negativa ou nula exigem cuidado:
  • x=0: então x^{x^{2}}=0^{0} (porque x^{2}=0) que é indeterminado/não definido no contexto das potências reais; portanto x=0 não faz sentido e é excluído.
  • Para x<0: a potência x^{b} com base negativa só é, em geral, um número real quando o expoente b é racional com denominador ímpar (na forma irredutível) — ou, mais simples e seguro para nós, quando b é um inteiro. No nosso caso os expoentes são x^{2} e 2x. Esses valores são inteiros simultaneamente apenas quando x é inteiro (se x é inteiro, então x^{2} é inteiro e 2x é inteiro). Para outros x<0 (não inteiros) as potências geralmente não são números reais e, portanto, não entram no domínio da inequação real.
    Por isso, para x<0 vamos restringir a análise aos x inteiros negativos, pois nesses pontos ambas as potências são bem definidas como números reais.
Observação: esse tratamento é suficiente porque a condição "resolver em \mathbb{R}" exige que ambas as expressões sejam números reais; pontos negativos não inteiros tipicamente não pertencem ao domínio real das potências dadas.

Passo 7

Analisamos x inteiro negativo, escrevendo x=-n com n\in\mathbb{N}.
Calculamos os sinais das potências:
  • x^{2}=n^{2} (inteiro). Se n é ímpar, n^{2} é ímpar; se n é par, n^{2} é par.
  • 2x= -2n é sempre um inteiro par (negativo).
A expressão à direita é
x^{2x}=(-n)^{-2n}=\frac{1}{(-n)^{2n}}.
Note que (-n)^{2n} é positivo (expoente par), logo a direita é positiva.
A expressão à esquerda é
x^{x^{2}} = (-n)^{n^{2}}.
  • Se n é ímpar, n^{2} é ímpar, então (-n)^{n^{2}} é negativo.
  • Se n é par, n^{2} é par, então (-n)^{n^{2}} é positivo.
Portanto:
  • Para n ímpar (ou seja, x negativo ímpar), a esquerda é negativa e a direita é positiva, logo a desigualdade \;x^{x^{2}}>x^{2x}\; é falsa.
  • Para n par (ou seja, x negativo par), ambas as potências são positivas e podemos comparar magnitudes.

Passo 8

Agora tratamos o caso x=-n com n par. Escreva n=2m com m\in\mathbb{N}. Então x=-2m.
Calculemos as potências em termos de m:
x^{x^{2}} = (-2m)^{(2m)^{2}} = (-2m)^{4m^{2}} = (2m)^{4m^{2}},
pois o expoente é par, eliminando o sinal negativo.
E
x^{2x} = (-2m)^{-4m} = \frac{1}{(-2m)^{4m}} = \frac{1}{(2m)^{4m}}.
Ambas são positivas. A desigualdade torna-se
(2m)^{4m^{2}} > \frac{1}{(2m)^{4m}}.
Multiplicando ambos os lados por (2m)^{4m} (positivo) obtemos
(2m)^{4m^{2}+4m} > 1.
Como 2m\ge 2, a base (2m) é maior que 1. Como o expoente 4m^{2}+4m é positivo, a potência é maior que 1. Logo a desigualdade é verdadeira para todo m\in\mathbb{N}, isto é, para todo n=2m par. Em termos de x, isso significa que todo inteiro negativo par satisfaz a desigualdade:
x\in\{-2,-4,-6,\dots\}.

Passo 9

Resumo e observações finais sobre o domínio:
  • Não incluímos x=0 (expressão indefinida).
  • Para x>0 resolvemos via \ln e encontramos (0,1)\cup(2,\infty).
  • Para x<0 apenas os inteiros negativos produzem ambas as potências reais de forma automática; entre esses, somente os inteiros negativos pares satisfazem a desigualdade. Inteiros negativos ímpares não satisfezem. Valores negativos não inteiros geralmente não pertencem ao domínio real das potências e, portanto, não entram na solução.

Resposta

\,(0,1)\cup(2,\infty)\cup\{-2,-4,-6,\dots\}

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