Exercício 0.7 Resolva as inequações em
abaixo
Passo 1
O enunciado pede para resolver, no conjunto dos reais, a inequação
Informações dadas e observações imediatas que precisamos registrar sem resolver ainda:
- As expressões envolvem potências com expoentes que dependem de
: e . - Em matemática real, a expressão
está bem definida para todo quando a base é positiva ( ). Para ou há restrições e casos especiais. - Portanto temos que cuidar do domínio: valores de
para os quais ambas as potências são números reais bem definidos. - O enunciado quer todos os
que satisfazem a desigualdade, considerando apenas valores nos quais a expressão faça sentido como número real.
Passo 2
Vamos estudar primeiro o domínio onde as potências são claramente definidas:
.
Explicação didática curtinha: para qualquer base positiva e qualquer expoente real,
é bem definido e positivo. Então, para
podemos comparar as duas potências normalmente usando logaritmo natural porque a função
é estritamente crescente e está definida para argumentos positivos.
Explicação didática curtinha: para qualquer base positiva
Passo 3
Para
aplicamos
em ambos os lados da desigualdade. Como
é estritamente crescente, a desigualdade não muda de sentido. Temos
Usamos a propriedade
. Assim
Passo 4
Reescrevendo a desigualdade obtida:
Colocando em fator comum:
Fatorando
:
Agora devemos analisar o sinal do produto de três fatores:
,
e
, para
.
Passo 5
Determinamos os pontos críticos que anulam algum fator:
(mas já fora do intervalo
),
(pois
) e
(pois
). Assim as regiões a analisar em
são:
,
e
.
Vamos avaliar o sinal do produto em cada intervalo:
Vamos avaliar o sinal do produto
- Em
: (positivo), (negativo), (negativo). Produto: . Logo a desigualdade vale em todo . - Em
: (positivo), (negativo), (positivo). Produto: . Logo a desigualdade não vale em . - Em
: (positivo), (positivo), (positivo). Produto: . Logo a desigualdade vale em todo .
Também verificamos os pontos
e
: nesses pontos o produto é zero (
ou
), então a desigualdade estrita
não é satisfeita em
e
.
Conclusão provisória para
: a solução é
Passo 6
Agora precisamos tratar
. Aqui as potências com base negativa ou nula exigem cuidado:
-
: então (porque ) que é indeterminado/não definido no contexto das potências reais; portanto não faz sentido e é excluído. - Para
: a potência com base negativa só é, em geral, um número real quando o expoente é racional com denominador ímpar (na forma irredutível) — ou, mais simples e seguro para nós, quando é um inteiro. No nosso caso os expoentes são e . Esses valores são inteiros simultaneamente apenas quando é inteiro (se é inteiro, então é inteiro e é inteiro). Para outros (não inteiros) as potências geralmente não são números reais e, portanto, não entram no domínio da inequação real.
Por isso, paravamos restringir a análise aos inteiros negativos, pois nesses pontos ambas as potências são bem definidas como números reais.
Observação: esse tratamento é suficiente porque a condição "resolver em
" exige que ambas as expressões sejam números reais; pontos negativos não inteiros tipicamente não pertencem ao domínio real das potências dadas.
Passo 7
Analisamos
inteiro negativo, escrevendo
com
.
Calculamos os sinais das potências:
Calculamos os sinais das potências:
-
(inteiro). Se é ímpar, é ímpar; se é par, é par. -
é sempre um inteiro par (negativo).
A expressão à direita é
Note que
é positivo (expoente par), logo a direita é positiva.
A expressão à esquerda é
- Se
é ímpar, é ímpar, então é negativo. - Se
é par, é par, então é positivo.
Portanto:
- Para
ímpar (ou seja, negativo ímpar), a esquerda é negativa e a direita é positiva, logo a desigualdade é falsa. - Para
par (ou seja, negativo par), ambas as potências são positivas e podemos comparar magnitudes.
Passo 8
Agora tratamos o caso
com
par. Escreva
com
. Então
.
Calculemos as potências em termos de :
Calculemos as potências em termos de
pois o expoente é par, eliminando o sinal negativo.
E
E
Ambas são positivas. A desigualdade torna-se
Multiplicando ambos os lados por
(positivo) obtemos
Como
, a base
é maior que
. Como o expoente
é positivo, a potência é maior que
. Logo a desigualdade é verdadeira para todo
, isto é, para todo
par. Em termos de
, isso significa que todo inteiro negativo par satisfaz a desigualdade:
Passo 9
Resumo e observações finais sobre o domínio:
- Não incluímos
(expressão indefinida). - Para
resolvemos via e encontramos . - Para
apenas os inteiros negativos produzem ambas as potências reais de forma automática; entre esses, somente os inteiros negativos pares satisfazem a desigualdade. Inteiros negativos ímpares não satisfezem. Valores negativos não inteiros geralmente não pertencem ao domínio real das potências e, portanto, não entram na solução.