Exercício 0.7 Resolva as inequações em \mathbb{R} abaixo
4^{x}-6 \cdot 2^{x}+8<0

Passo 1

O enunciado pede para resolver em \mathbb{R} a inequação
4^{x}-6\cdot 2^{x}+8<0.
Informações relevantes que temos:
  • A incógnita é x\in\mathbb{R}.
  • As expressões envolvem potências de base 2 e 4.
  • Precisamos encontrar todos os x reais que tornam a expressão estritamente negativa.

Passo 2

Uma técnica padrão para inequações com 2^{x} e 4^{x} é fazer uma substituição que transforme a expressão em um polinômio. Observe que
4^{x}=(2^{2})^{x}=2^{2x}=(2^{x})^{2}.
Então fazemos a substituição
t = 2^{x}.
Agora, expliquei passo a passo: 2^{x} é sempre positivo para todo x\in\mathbb{R}, logo após a substituição temos a condição
t>0.

Passo 3

Substituindo t=2^{x} na inequação original, obtemos uma inequação quadrática em t:
t^{2}-6t+8<0.
Aqui cada termo foi substituído: 4^{x} virou t^{2}, 6\cdot 2^{x} virou 6t, e 8 permanece.

Passo 4

Agora resolvemos a inequação quadrática t^{2}-6t+8<0.
  1. Primeiro encontramos as raízes da equação quadrática associada t^{2}-6t+8=0. Para uma quadrática at^{2}+bt+c=0 as raízes são dadas por
t=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a},
onde \Delta=b^{2}-4ac é o discriminante. Aqui a=1, b=-6, c=8. Calculamos:
\Delta = (-6)^{2}-4\cdot1\cdot8 = 36-32 = 4.
Logo \sqrt{\Delta}=2 e as raízes são
t=\frac{6\pm2}{2}.
Isso dá as raízes t=2 e t=4.
  1. Podemos fatorar a quadrática usando as raízes:
t^{2}-6t+8=(t-2)(t-4).
  1. Análise do sinal: como o coeficiente de t^{2} é positivo ( a=1>0), o gráfico da parábola abre para cima. Portanto a expressão (t-2)(t-4) é negativa entre as raízes e positiva fora delas. Assim a solução da inequação em termos de t é
2 < t < 4.
Lembre-se também da condição de domínio t>0; a faixa 2<t<4 respeita isso, então é válida.

Passo 5

Voltamos à variável x pela substituição t=2^{x}. Temos então
2 < 2^{x} < 4.
Para resolver isso em x usamos a função logaritmo na base 2. Justificativa: a função f(x)=2^{x} é estritamente crescente (porque a base 2>1), então aplicar \log_{2} preserva as desigualdades. Aplicando \log_{2} em cada termo:
\log_{2}(2) < \log_{2}(2^{x}) < \log_{2}(4).
Calculando os logaritmos conhecidos:
1 < x < 2.
Portanto a solução em x é o intervalo aberto (1,2).

Passo 6

Para ficar seguro, fazemos uma checagem numérica rápida: tome x=1{,}5 (que está no intervalo proposto). Calculando aproximadamente:
4^{1{,}5}=8,\qquad 2^{1{,}5}\approx2{,}828,\qquad -6\cdot2^{1{,}5}\approx-16{,}97,
então
4^{1{,}5}-6\cdot2^{1{,}5}+8 \approx 8-16{,}97+8 \approx -0{,}97<0,
o que confirma que valores internos ao intervalo funcionam. Teste fora do intervalo, por exemplo x=0: 4^{0}-6\cdot2^{0}+8=1-6+8=3>0, então fora do intervalo não vale. Tudo consistente.

Resposta

(1,2)

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