Exercício 0.7 Resolva as inequações em
abaixo
Passo 1
O enunciado pede para resolver em
a inequação
Informações relevantes que temos:
- A incógnita é
. - As expressões envolvem potências de base
e . - Precisamos encontrar todos os
reais que tornam a expressão estritamente negativa.
Passo 2
Uma técnica padrão para inequações com
e
é fazer uma substituição que transforme a expressão em um polinômio. Observe que
Então fazemos a substituição
Agora, expliquei passo a passo:
é sempre positivo para todo
, logo após a substituição temos a condição
Passo 3
Substituindo
na inequação original, obtemos uma inequação quadrática em
:
Aqui cada termo foi substituído:
virou
,
virou
, e
permanece.
Passo 4
Agora resolvemos a inequação quadrática
.
- Primeiro encontramos as raízes da equação quadrática associada
. Para uma quadrática as raízes são dadas por
onde
é o discriminante. Aqui
,
,
. Calculamos:
Logo
e as raízes são
Isso dá as raízes
e
.
- Podemos fatorar a quadrática usando as raízes:
- Análise do sinal: como o coeficiente de
é positivo ( ), o gráfico da parábola abre para cima. Portanto a expressão é negativa entre as raízes e positiva fora delas. Assim a solução da inequação em termos de é
Lembre-se também da condição de domínio
; a faixa
respeita isso, então é válida.
Passo 5
Voltamos à variável
pela substituição
. Temos então
Para resolver isso em
usamos a função logaritmo na base
. Justificativa: a função
é estritamente crescente (porque a base
), então aplicar
preserva as desigualdades. Aplicando
em cada termo:
Calculando os logaritmos conhecidos:
Portanto a solução em
é o intervalo aberto
.
Passo 6
Para ficar seguro, fazemos uma checagem numérica rápida: tome
(que está no intervalo proposto). Calculando aproximadamente:
então
o que confirma que valores internos ao intervalo funcionam. Teste fora do intervalo, por exemplo
:
, então fora do intervalo não vale. Tudo consistente.