Exercício 0.7 Resolva as inequações em
abaixo
Passo 1
O enunciado pede para resolver em
a cadeia de inequações
Informações dadas que vamos usar:
Passo 2
Primeiro simplificamos a expressão do meio usando a propriedade de potências
.
Observando que , temos
Observando que
Portanto a cadeia fica
Passo 3
Agora vamos usar uma propriedade importante das funções exponenciais: se a base
satisfaz
, então a função
é estritamente decrescente. Em termos de desigualdades isso significa:
Explicação rápida do porquê: aplicando o logaritmo natural em
obtemos
. Como
(porque
), ao dividir por
a desigualdade se inverte, ficando
.
Aqui temos
com
, então podemos comparar diretamente os expoentes trocando o sentido das desigualdades.
Passo 4
Aplicando a regra do passo anterior à desigualdade da esquerda
temos que os expoentes satisfazem
Agora resolvemos essa desigualdade passo a passo:
subtraindo
de ambos os lados:
ou seja
Somando
aos dois lados:
Multiplicando por
(e invertendo o sinal da desigualdade):
Finalmente,
Passo 5
Agora aplicamos a mesma ideia à desigualdade da direita
Pelo fato da base ser
, os expoentes satisfazem
Resolvendo:
subtraindo
de ambos os lados:
logo
Passo 6
Temos agora as duas condições que devem ser satisfeitas simultaneamente:
Não existe número real que seja ao mesmo tempo menor ou igual a
(que é aproximadamente
) e maior ou igual a
. Portanto não há
que satisfaça as duas desigualdades simultaneamente.
Resposta
Nenhuma solução em
.