Exercício 0.7 Resolva as inequações em \mathbb{R} abaixo
(0,3)^{x-5} \leq(0,09)^{2 x+3} \leq(0,3)^{x+6}

Passo 1

O enunciado pede para resolver em \mathbb{R} a cadeia de inequações
(0,3)^{x-5} \leq(0,09)^{2 x+3} \leq(0,3)^{x+6}.
Informações dadas que vamos usar:
\text{(i) }0,3 \text{ e } 0,09 \text{ são números positivos (entre 0 e 1).}ãú
\text{(ii) A incógnita é }x\in\mathbb{R}\text{, e precisamos obter todos os }x\text{ que satisfazem simultaneamente as duas desigualdades.}óé

Passo 2

Primeiro simplificamos a expressão do meio usando a propriedade de potências (a^b)^c = a^{bc}.
Observando que 0,09 = (0,3)^2, temos
(0,09)^{2x+3} = \big((0,3)^2\big)^{2x+3} = (0,3)^{2(2x+3)} = (0,3)^{4x+6}.
Portanto a cadeia fica
(0,3)^{x-5} \le (0,3)^{4x+6} \le (0,3)^{x+6}.

Passo 3

Agora vamos usar uma propriedade importante das funções exponenciais: se a base a satisfaz 0<a<1, então a função t\mapsto a^{t} é estritamente decrescente. Em termos de desigualdades isso significa:
\text{para }0<a<1,\qquad a^{u}\le a^{v}\quad\Longleftrightarrow\quad u\ge v.
Explicação rápida do porquê: aplicando o logaritmo natural em a^{u}\le a^{v} obtemos u\ln a \le v\ln a. Como \ln a<0 (porque 0<a<1), ao dividir por \ln a a desigualdade se inverte, ficando u\ge v.
Aqui temos a=0,3 com 0<a<1, então podemos comparar diretamente os expoentes trocando o sentido das desigualdades.

Passo 4

Aplicando a regra do passo anterior à desigualdade da esquerda
(0,3)^{x-5} \le (0,3)^{4x+6}
temos que os expoentes satisfazem
x-5 \ge 4x+6.
Agora resolvemos essa desigualdade passo a passo:
x-5 \ge 4x+6
subtraindo 4x de ambos os lados:
x-4x -5 \ge 6
ou seja
-3x -5 \ge 6.
Somando 5 aos dois lados:
-3x \ge 11.
Multiplicando por -1 (e invertendo o sinal da desigualdade):
3x \le -11.
Finalmente,
x \le -\frac{11}{3}.

Passo 5

Agora aplicamos a mesma ideia à desigualdade da direita
(0,3)^{4x+6} \le (0,3)^{x+6}.
Pelo fato da base ser 0,3\in(0,1), os expoentes satisfazem
4x+6 \ge x+6.
Resolvendo:
4x+6 \ge x+6
subtraindo x+6 de ambos os lados:
3x \ge 0,
logo
x \ge 0.

Passo 6

Temos agora as duas condições que devem ser satisfeitas simultaneamente:
x \le -\frac{11}{3} \qquad\text{e}\qquad x \ge 0.
Não existe número real que seja ao mesmo tempo menor ou igual a -\tfrac{11}{3} (que é aproximadamente -3{,}666) e maior ou igual a 0. Portanto não há x\in\mathbb{R} que satisfaça as duas desigualdades simultaneamente.

Resposta

Nenhuma solução em \mathbb{R}.

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