Para a função do Exercício 4.4E(d), escreva a identidade de Parseval correspondente e, usando o resultado, deduza que:
sumn=1^infty 1n^4=pi^490

Passo 1

O enunciado pede para aplicar a identidade de Parseval à função periódica f(x)=x^2 (extensão de período 2pi) cujo desenvolvimento em série de Fourier já foi obtido no Exercício 4.4E(d). O conteúdo aqui é a identidade de Parseval para séries de Fourier e vamos precisar dos coeficientes
a0=2pi^23, an=4(-1)^nn^2, bn=0 (n>=1)

Passo 2

A identidade de Parseval diz que, para f com série
f(x)=a02+sumn=1^inftyl(ancos(nx)+bnsin(nx)r),
vale
1piintegral-pi^pil|f(x)r|^2,dx =a0^22+sumn=1^inftyl(an^2+bn^2r)

Passo 3

Calculamos o lado esquerdo, que é
1piintegral-pi^pix^4,dx =2piintegral0^pix^4,dx =2picdotpi^55 =2pi^45

Passo 4

No lado direito substituímos
a0^22 =12l(2pi^23r)^2 =2pi^49, sumn=1^infty an^2 =sumn=1^infty16n^4 =16sumn=1^infty1n^4,
pois bn=0 e l((-1)^nr)^2=1.

Passo 5

Igualando os dois lados da identidade de Parseval temos
2pi^45 =2pi^49+16sumn=1^infty1n^4 ;Longrightarrow; 16sumn=1^infty1n^4 =2pi^4l(15-19r) =2pi^4cdot445 =8pi^445
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sumn=1^infty1n^4 =8pi^445cdot16 =pi^490

Resposta

sumn=1^infty1n^4=pi^490

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