O que se pede é encontrar uma função y definida em [0,L] que satisfaça a equação diferencial e as duas condições de contorno Neumann. As informações relevantes são:
A equação diferencial ordinária é -y^{\prime\prime}(x)=\sin\!\left(\dfrac{\pi x}{L}\right).
O domínio é o intervalo (0,L).
As condições de contorno são y^{\prime}(0)=0 e y^{\prime}(L)=0.]
Passo 2
Primeiro vou transformar a equação para uma forma mais direta para integrar. Multiplicando por -1 obtemos
onde C_{2} é outra constante de integração. Aqui expliquei cada termo: o primeiro é uma primitiva da parte forçada, o segundo é a primitiva da constante C_{1} e o terceiro é a constante de integração final.
Passo 4
Agora aplico as condições de contorno nas expressões para y'(x). Primeiro em x=0:
não é possível que ambos sejam verdadeiros. Isso mostra que não existe constante C_{1} que satisfaça simultaneamente as duas condições de contorno usando a forma geral da solução. Logo não existe solução y que satisfaça o problema de contorno dado.
Passo 7
Para entender de maneira mais conceitual por que não existe solução, derive uma condição de compatibilidade. Integre a equação original em x de 0 até L:
Portanto o lado esquerdo é 0 enquanto o lado direito é \dfrac{2L}{\pi}, uma contradição. Isso mostra a condição de compatibilidade necessária para problemas de Neumann: para existir solução deve valer
o que aqui não ocorre. Esse é o motivo fundamental da impossibilidade: a força (o termo à direita) não está ortogonal às funções constantes, que são o núcleo do operador y\mapsto -y'' com Neumann.