Exercício 8. Resolva
\left\{\begin{array}{l} -y^{\prime \prime}(x)=\sin \left(\frac{\pi x}{L}\right), \quad x \in(0, L), \\\ y^{\prime}(0)=0, \quad y^{\prime}(L)=0 . \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o problema de contorno
\left\{\begin{array}{l} -y^{\prime\prime}(x)=\sin\!\left(\dfrac{\pi x}{L}\right),\quad x\in(0,L),\\[4pt] y^{\prime}(0)=0,\quad y^{\prime}(L)=0. \end{array}\right.
O que se pede é encontrar uma função y definida em [0,L] que satisfaça a equação diferencial e as duas condições de contorno Neumann. As informações relevantes são:
  • A equação diferencial ordinária é -y^{\prime\prime}(x)=\sin\!\left(\dfrac{\pi x}{L}\right).
  • O domínio é o intervalo (0,L).
  • As condições de contorno são y^{\prime}(0)=0 e y^{\prime}(L)=0.]

Passo 2

Primeiro vou transformar a equação para uma forma mais direta para integrar. Multiplicando por -1 obtemos
y^{\prime\prime}(x)=-\sin\!\left(\dfrac{\pi x}{L}\right).
Agora integro uma vez para obter y^{\prime}(x). Para integrar, use a regra: se a=\dfrac{\pi}{L}, então
\frac{d}{dx}\big(\cos(ax)\big)=-a\sin(ax),
portanto
\int -\sin(ax)\,dx=\frac{1}{a}\cos(ax)+C.
Aplicando com a=\dfrac{\pi}{L} resulta
y^{\prime}(x)=\frac{L}{\pi}\cos\!\left(\dfrac{\pi x}{L}\right)+C_{1},
onde C_{1} é uma constante de integração. Aqui explico: o fator \dfrac{L}{\pi} vem de inverter a=\dfrac{\pi}{L}, ou seja \dfrac{1}{a}=\dfrac{L}{\pi}.

Passo 3

Agora integro y^{\prime}(x) para obter y(x). Use que \int \cos(ax)\,dx=\dfrac{1}{a}\sin(ax)+constante. Assim,
y(x)=\frac{L}{\pi}\cdot\frac{L}{\pi}\sin\!\left(\dfrac{\pi x}{L}\right)+C_{1}x+C_{2} =\frac{L^{2}}{\pi^{2}}\sin\!\left(\dfrac{\pi x}{L}\right)+C_{1}x+C_{2},
onde C_{2} é outra constante de integração. Aqui expliquei cada termo: o primeiro é uma primitiva da parte forçada, o segundo é a primitiva da constante C_{1} e o terceiro é a constante de integração final.

Passo 4

Agora aplico as condições de contorno nas expressões para y'(x). Primeiro em x=0:
y^{\prime}(0)=\frac{L}{\pi}\cos(0)+C_{1}=\frac{L}{\pi}+C_{1}.
A condição exige y^{\prime}(0)=0, portanto
\frac{L}{\pi}+C_{1}=0\quad\Rightarrow\quad C_{1}=-\frac{L}{\pi}.

Passo 5

Aplicando a condição em x=L:
y^{\prime}(L)=\frac{L}{\pi}\cos\!\left(\pi\right)+C_{1}=\frac{L}{\pi}(-1)+C_{1}=-\frac{L}{\pi}+C_{1}.
A condição exige y^{\prime}(L)=0, então
-\frac{L}{\pi}+C_{1}=0\quad\Rightarrow\quad C_{1}=\frac{L}{\pi}.

Passo 6

Comparando os dois valores obtidos para C_{1} vemos uma contradição:
C_{1}=-\frac{L}{\pi}\quad\text{e}\quad C_{1}=\frac{L}{\pi},
não é possível que ambos sejam verdadeiros. Isso mostra que não existe constante C_{1} que satisfaça simultaneamente as duas condições de contorno usando a forma geral da solução. Logo não existe solução y que satisfaça o problema de contorno dado.

Passo 7

Para entender de maneira mais conceitual por que não existe solução, derive uma condição de compatibilidade. Integre a equação original em x de 0 até L:
\int_{0}^{L}\big(-y^{\prime\prime}(x)\big)\,dx=\int_{0}^{L}\sin\!\left(\dfrac{\pi x}{L}\right)\,dx.
No lado esquerdo, usando integração direta,
\int_{0}^{L}-y^{\prime\prime}(x)\,dx=-y^{\prime}(L)+y^{\prime}(0).
Pelas condições de contorno y^{\prime}(0)=y^{\prime}(L)=0 isso dá 0 no lado esquerdo. No lado direito calcule a integral explicitamente:
\int_{0}^{L}\sin\!\left(\dfrac{\pi x}{L}\right)\,dx =\left[-\frac{L}{\pi}\cos\!\left(\dfrac{\pi x}{L}\right)\right]_{0}^{L} =-\frac{L}{\pi}\big(\cos\pi-\cos 0\big) =-\frac{L}{\pi}(-1-1)=\frac{2L}{\pi}\neq 0.
Portanto o lado esquerdo é 0 enquanto o lado direito é \dfrac{2L}{\pi}, uma contradição. Isso mostra a condição de compatibilidade necessária para problemas de Neumann: para existir solução deve valer
\int_{0}^{L}\sin\!\left(\dfrac{\pi x}{L}\right)\,dx=0,
o que aqui não ocorre. Esse é o motivo fundamental da impossibilidade: a força (o termo à direita) não está ortogonal às funções constantes, que são o núcleo do operador y\mapsto -y'' com Neumann.

Resposta

\text{Não existe solução}ãçã

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