Exercício 7. Considere
Verifique se o problema admite solução.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (sem resolver ainda).\
- O enunciado fornece a equação diferencial e as condições de contorno:
- O que se pede: verificar se o problema admite solução (isto é, existe alguma função
que satisfaça a equação diferencial no intervalo e as duas condições de contorno).\ - Informação implícita importante: o intervalo é
. Normalmente isso implica que se espera , mas manterei simbólico e depois discutirei esse caso.
Passo 2
Transformar a equação diferencial em uma forma fácil de integrar e resolver para
.
A equação dada é
A equação dada é
Isolando
:
Agora integramos uma vez em relação a
para obter
. Explico a técnica: integrar
dá
mais uma constante de integração; integrar o lado direito dá a primitiva de
. Então
Calculando a integral do lado direito:
onde
é constante de integração. Portanto
Passo 3
Impor a condição de contorno em
para determinar
.
A condição em é
. Substituindo
em
:
A condição em
Como
, segue que
Assim a expressão para
fica
Passo 4
Impor a condição de contorno em
e obter a condição sobre
.
A condição em é
. Substituindo:
A condição em
Multiplicando por
e rearranjando:
Colocando em fator comum:
As soluções dessa equação para
são
Passo 5
Interpretação das soluções para
e implicação para existência da solução do problema.\
- Se o intervalo tem
, o segmento é degenerado (vazio) — caso degenerate; trivialmente as condições se tornam problemáticas como BVP padrão. Em muitos contextos físicos e de EDO, considera-se , então não é um caso considerado.\ - Se
, o comprimento do intervalo seria negativo, ou seja o enunciado original com normalmente pressupõe , então também não é um caso compatível com a formulação usual.\ - Para qualquer
(caso usual), a equação não é satisfeita, logo a condição não pode ser atendida ao mesmo tempo que . Portanto, para o problema NÃO admite solução.
Passo 6
Dar uma visão alternativa e didática (condição de compatibilidade típica para contorno de Neumann).
Existe uma forma mais conceitual que explica por que apareceu a condição sobre . Se integrarmos a equação original em
:
Existe uma forma mais conceitual que explica por que apareceu a condição sobre
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, o lado esquerdo é
As condições de contorno dizem
, logo o lado esquerdo é
. O lado direito é
Igualando os dois lados obtemos a condição de compatibilidade
que é exatamente a mesma condição encontrada antes. Isso ilustra um princípio geral: para problemas com condições de Neumann homogêneas é necessário que a integral do termo fonte sobre o domínio seja zero (porque a derivada primeira pertencente ao núcleo impõe essa compatibilidade). Se essa condição não é satisfeita, não existe solução.
Passo 7
Conclusão final e incentivo.
Portanto, analisamos explicitamente a solução para e as condições de contorno e mostramos que existe uma restrição sobre
. Para os valores de
compatíveis com a formulação usual do problema (
) a restrição não é satisfeita, então NÃO existe solução. Sei que isso parece chatinho, mas é um exemplo clássico de condição de compatibilidade em problemas com contorno do tipo Neumann — é normal bater de cara com isso em provas; você já fez a parte mais difícil que é identificar e aplicar a compatibilidade!
Portanto, analisamos explicitamente a solução para
Resposta
O problema admite solução somente se
ou
. Em particular, para
(caso usual) o problema não admite solução.