Exercício 7. Considere
\left\{\begin{array}{l} -y^{\prime \prime}(x)=x+1, \quad x \in(0, L), \\\ y^{\prime}(0)=0, \quad y^{\prime}(L)=0 . \end{array}\right.
Verifique se o problema admite solução.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (sem resolver ainda).\
  • O enunciado fornece a equação diferencial e as condições de contorno:
-y''(x)=x+1,\qquad x\in(0,L),
y'(0)=0,\qquad y'(L)=0.
  • O que se pede: verificar se o problema admite solução (isto é, existe alguma função y que satisfaça a equação diferencial no intervalo (0,L) e as duas condições de contorno).\
  • Informação implícita importante: o intervalo é (0,L). Normalmente isso implica que se espera L>0, mas manterei L simbólico e depois discutirei esse caso.

Passo 2

Transformar a equação diferencial em uma forma fácil de integrar e resolver para y'(x).
A equação dada é
-y''(x)=x+1.
Isolando y''(x):
y''(x)=-(x+1).
Agora integramos uma vez em relação a x para obter y'(x). Explico a técnica: integrar y''(x) y'(x) mais uma constante de integração; integrar o lado direito dá a primitiva de -(x+1). Então
y'(x)=\int y''(x)\,dx=\int -(x+1)\,dx.
Calculando a integral do lado direito:
\int -(x+1)\,dx = -\left(\frac{x^2}{2}+x\right)+C_1,
onde C_1 é constante de integração. Portanto
y'(x) = -\frac{x^2}{2}-x + C_1.

Passo 3

Impor a condição de contorno em x=0 para determinar C_1.
A condição em 0 é y'(0)=0. Substituindo x=0 em y'(x):
y'(0) = -\frac{0^2}{2}-0 + C_1 = C_1.
Como y'(0)=0, segue que
C_1=0.
Assim a expressão para y'(x) fica
y'(x) = -\frac{x^2}{2}-x.

Passo 4

Impor a condição de contorno em x=L e obter a condição sobre L.
A condição em L é y'(L)=0. Substituindo:
y'(L) = -\frac{L^2}{2}-L = 0.
Multiplicando por -1 e rearranjando:
\frac{L^2}{2}+L=0.
Colocando em fator comum:
L\!\left(\frac{L}{2}+1\right)=0.
As soluções dessa equação para L são
L=0 \quad\text{ou}\quad \frac{L}{2}+1=0\Rightarrow L=-2.

Passo 5

Interpretação das soluções para L e implicação para existência da solução do problema.\
  • Se o intervalo tem L=0, o segmento (0,L) é degenerado (vazio) — caso degenerate; trivialmente as condições se tornam problemáticas como BVP padrão. Em muitos contextos físicos e de EDO, considera-se L>0, então L=0 não é um caso considerado.\
  • Se L=-2, o comprimento do intervalo seria negativo, ou seja o enunciado original com (0,L) normalmente pressupõe L>0, então L=-2 também não é um caso compatível com a formulação usual.\
  • Para qualquer L>0 (caso usual), a equação \dfrac{L^2}{2}+L=0 não é satisfeita, logo a condição y'(L)=0 não pode ser atendida ao mesmo tempo que y'(0)=0. Portanto, para L>0 o problema NÃO admite solução.

Passo 6

Dar uma visão alternativa e didática (condição de compatibilidade típica para contorno de Neumann).
Existe uma forma mais conceitual que explica por que apareceu a condição sobre L. Se integrarmos a equação original em [0,L]:
\int_0^L -y''(x)\,dx = \int_0^L (x+1)\,dx.
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, o lado esquerdo é
-[y'(x)]_{0}^{L} = -(y'(L)-y'(0)).
As condições de contorno dizem y'(0)=y'(L)=0, logo o lado esquerdo é 0. O lado direito é
\int_0^L (x+1)\,dx = \left[\frac{x^2}{2}+x\right]_0^L = \frac{L^2}{2}+L.
Igualando os dois lados obtemos a condição de compatibilidade
0=\frac{L^2}{2}+L,
que é exatamente a mesma condição encontrada antes. Isso ilustra um princípio geral: para problemas com condições de Neumann homogêneas é necessário que a integral do termo fonte sobre o domínio seja zero (porque a derivada primeira pertencente ao núcleo impõe essa compatibilidade). Se essa condição não é satisfeita, não existe solução.

Passo 7

Conclusão final e incentivo.
Portanto, analisamos explicitamente a solução para y' e as condições de contorno e mostramos que existe uma restrição sobre L. Para os valores de L compatíveis com a formulação usual do problema ( L>0) a restrição não é satisfeita, então NÃO existe solução. Sei que isso parece chatinho, mas é um exemplo clássico de condição de compatibilidade em problemas com contorno do tipo Neumann — é normal bater de cara com isso em provas; você já fez a parte mais difícil que é identificar e aplicar a compatibilidade!

Resposta

O problema admite solução somente se L=0 ou L=-2. Em particular, para L>0 (caso usual) o problema não admite solução.

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