O enunciado nos dá uma equação diferencial com condições de contorno e pede resolver por séries de Fourier. As informações são:
Equação: -y^{\prime\prime}(x)=1 para x\in(0,L).
Condições de contorno: y(0)=0 e y(L)=0.
O que se pede: encontrar a solução y(x) que satisfaz a equação e as duas condições de contorno; especificamente usar a técnica de séries de Fourier (séries seno, devido às condições y=0 nas extremidades).
Passo 2
Ideia do método (passo-a-passo didático):
Quando as condições de contorno são y(0)=y(L)=0 é natural expandir a função do lado direito (a fonte) em série de senos na base \{\sin(n\pi x/L)\}_{n\ge1}, porque esses senos são nulos nas extremidades e formam uma base ortogonal em (0,L).
Primeiro vamos expandir a função f(x)=1 em série de senos:1=\sum_{n=1}^{\infty} b_n\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right),onde os coeficientes b_n são dados pela fórmula de projeção (usando ortogonalidade):b_n=\frac{2}{L}\int_{0}^{L} 1\cdot \sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx.
Vamos calcular essa integral passo a passo. Calcule:\int_{0}^{L}\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx =\left[-\frac{L}{n\pi}\cos\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\right]_{0}^{L} =-\frac{L}{n\pi}\big(\cos(n\pi)-\cos 0\big).Como \cos(n\pi)=(-1)^n e \cos 0=1, obtemos\int_{0}^{L}\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx =-\frac{L}{n\pi}\big((-1)^n-1\big).Multiplicando por 2/L,b_n=\frac{2}{L}\cdot\left(-\frac{L}{n\pi}\big((-1)^n-1\big)\right) =\frac{2}{n\pi}\big(1-(-1)^n\big).Observe que 1-(-1)^n vale 0 quando n é par e vale 2 quando n é ímpar. Assimb_n=\begin{cases} \dfrac{4}{n\pi}, & n\\ \text{ímpar},\\[6pt] 0, & n\\ \text{par}. \end{cases}Portanto a série contém apenas termos de índice ímpar.]
Aplicando o operador do lado esquerdo -\frac{d^2}{dx^2} sobre cada seno temos (porque -\frac{d^2}{dx^2}\sin(\frac{n\pi x}{L})=(\tfrac{n\pi}{L})^2\sin(\frac{n\pi x}{L})):
Agora é interessante obter a forma fechada (a expressão elementar) e verificar que a série converge para essa função. Podemos resolver a EDO diretamente por integração duas vezes (método clássico) para verificar a forma fechada:
Da equação -y^{\prime\prime}(x)=1 segue y^{\prime\prime}(x)=-1.
Integrando uma vez: y^{\prime}(x)=-x+C_1.
Integrando novamente: y(x)=-\dfrac{x^2}{2}+C_1 x + C_2.
Aplicando y(0)=0 dá C_2=0.
Aplicando y(L)=0 dá -\dfrac{L^2}{2}+C_1 L=0, logo C_1=\dfrac{L}{2}.
Portanto a solução clássica éy(x)=-\frac{x^2}{2}+\frac{L}{2}x=\frac{x(L-x)}{2}.
Pela unicidade da solução do problema de Dirichlet para essa equação linear de segunda ordem, a série de Fourier obtida anteriormente converge para essa mesma função y(x)=\dfrac{x(L-x)}{2} em todo x\in(0,L). Assim temos a solução em forma de série e em forma fechada.
Passo 5
Resumo final (comparando as duas formas, que coincidem):
Série de Fourier (série seno):y(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{4L^2}{(2k+1)^3\pi^3} \sin\!\left(\frac{(2k+1)\pi x}{L}\right).
Forma fechada (mais prática na prova):y(x)=\frac{x(L-x)}{2}.