Exercício 6. Resolva o problema de valor de contorno
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de contorno
Informações dadas:
- A equação diferencial é de segunda ordem e vale para
no intervalo . - As condições de contorno são
e . -
é um parâmetro positivo (é uma constante dada pelo enunciado; não precisamos saber seu valor numérico para obter a solução em função de ).
O que se pede: encontrar a funçãoque satisfaz a equação diferencial e as duas condições de contorno.]
Passo 2
Primeiro passo técnico: deixar a equação na forma
. A equação dada é
, então multiplicando por
obtemos
Explicação didática: resolver uma equação do tipo
consiste em integrar
duas vezes, porque a derivada segunda é a derivada da derivada primeira. Cada integração traz uma constante de integração.
Passo 3
Integramos uma vez para obter
. Integrando
em relação a
:
onde
é a constante de integração (um número que será determinado pelas condições de contorno).
Explicação didática rápida sobre a integração usada:
, então
.
Passo 4
Agora integramos novamente para obter
. Integramos
:
onde
é uma segunda constante de integração.
Explicação didática:
, e a integral de uma constante
é
.
Passo 5
Usamos as condições de contorno para determinar
e
.
Aplicando
:
Portanto
.
Aplicando
:
Isolando
:
assumindo
(se
o problema degeneraria, mas o enunciado considera intervalo
).
Passo 6
Substituímos as constantes na expressão geral de
:
Podemos factorizar para escrever de forma mais compacta:
Dica prática para prova: chegar a essa forma é rápido — integrar duas vezes, aplicar
para zerar
e
para achar
. Em problema com polinômio no RHS normalmente a solução será um polinômio de grau maior por duas unidades.
Passo 7
Verificação rápida (sempre faça isto na prova para garantir que não houve erro):
- Derivando
: usando ,
Logo
, a equação diferencial é satisfeita.
- Condições de contorno:
é óbvio; . Assim as duas condições são satisfeitas.