Exercício 6. Resolva o problema de valor de contorno
\left\{\begin{array}{l} -y^{\prime \prime}(x)=2 x, \quad x \in(0, L) \\\ y(0)=0, \quad y(L)=0 . \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de contorno
\left\{\begin{array}{l} -y^{\prime\prime}(x)=2x,\quad x\in(0,L)\\[4pt] y(0)=0,\quad y(L)=0 \end{array}\right.
Informações dadas:
  • A equação diferencial é de segunda ordem e vale para x no intervalo (0,L).
  • As condições de contorno são y(0)=0 e y(L)=0.
  • L é um parâmetro positivo (é uma constante dada pelo enunciado; não precisamos saber seu valor numérico para obter a solução em função de L).
    O que se pede: encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e as duas condições de contorno.]

Passo 2

Primeiro passo técnico: deixar a equação na forma \,y^{\prime\prime}(x)=\cdots. A equação dada é -y^{\prime\prime}(x)=2x, então multiplicando por -1 obtemos
y^{\prime\prime}(x)=-2x.
Explicação didática: resolver uma equação do tipo \,y^{\prime\prime}(x)=g(x)\, consiste em integrar g(x) duas vezes, porque a derivada segunda é a derivada da derivada primeira. Cada integração traz uma constante de integração.

Passo 3

Integramos uma vez para obter y'(x). Integrando -2x em relação a x:
y'(x)=\int -2x\,dx = -x^{2}+C_{1},
onde C_{1} é a constante de integração (um número que será determinado pelas condições de contorno).
Explicação didática rápida sobre a integração usada: \int x\,dx = \tfrac{x^{2}}{2}, então \int -2x\,dx = -2\cdot \tfrac{x^{2}}{2} = -x^{2}.

Passo 4

Agora integramos novamente para obter y(x). Integramos -x^{2}+C_{1}:
y(x)=\int(-x^{2}+C_{1})\,dx = -\frac{x^{3}}{3}+C_{1}x+C_{2},
onde C_{2} é uma segunda constante de integração.
Explicação didática: \int x^{2}dx=\tfrac{x^{3}}{3}, e a integral de uma constante C_{1} é C_{1}x.

Passo 5

Usamos as condições de contorno para determinar C_{1} e C_{2}.
Aplicando y(0)=0:
y(0)=-\frac{0^{3}}{3}+C_{1}\cdot 0 + C_{2}=C_{2}=0.
Portanto \,C_{2}=0.
Aplicando y(L)=0:
y(L)=-\frac{L^{3}}{3}+C_{1}L+C_{2}=-\frac{L^{3}}{3}+C_{1}L+0=0.
Isolando C_{1}:
C_{1}L=\frac{L^{3}}{3}\quad\Rightarrow\quad C_{1}=\frac{L^{2}}{3},
assumindo L\neq 0 (se L=0 o problema degeneraria, mas o enunciado considera intervalo (0,L)).

Passo 6

Substituímos as constantes na expressão geral de y(x):
y(x)=-\frac{x^{3}}{3}+\frac{L^{2}}{3}\,x.
Podemos factorizar para escrever de forma mais compacta:
y(x)=\frac{1}{3}\,x\bigl(L^{2}-x^{2}\bigr).
Dica prática para prova: chegar a essa forma é rápido — integrar duas vezes, aplicar y(0)=0 para zerar C_{2} e y(L)=0 para achar C_{1}. Em problema com polinômio no RHS normalmente a solução será um polinômio de grau maior por duas unidades.

Passo 7

Verificação rápida (sempre faça isto na prova para garantir que não houve erro):
  • Derivando y(x): usando y(x)=-\tfrac{x^{3}}{3}+\tfrac{L^{2}}{3}x,
y'(x)=-x^{2}+\frac{L^{2}}{3},
y''(x)=-2x.
Logo -y''(x)=2x, a equação diferencial é satisfeita.
  • Condições de contorno: y(0)=0 é óbvio; y(L)=\tfrac{1}{3}L(L^{2}-L^{2})=0. Assim as duas condições são satisfeitas.

Resposta

y(x)=-\frac{x^{3}}{3}+\frac{L^{2}}{3}x=\frac{1}{3}\,x\bigl(L^{2}-x^{2}\bigr)

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