Exercício 7. Resolva o seguinte sistema
X^{\prime}=\left[\begin{array}{ccc} 0 & -3 & 3 \\\\ -3 & 0 & 3 \\\\ -3 & -3 & 6 \end{array}\right] X

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema de EDOs lineares a coeficientes constantes
X'(t)=A\,X(t),\quad A=\begin{pmatrix}0 & -3 & 3\\\ -3 & 0 & 3\\\ -3 & -3 & 6\end{pmatrix},
e pede a solução geral X(t). O conteúdo envolve diagonalização de matriz via autovalores e autovetores.

Passo 2

Para achar os autovalores, calculamos o polinômio característico
\chi(\lambda)=\det(A-\lambda I) =\det\begin{pmatrix}-\lambda & -3 & 3\\\ -3 & -\lambda & 3\\\ -3 & -3 & 6-\lambda\end{pmatrix} =-\lambda(\lambda-3)^2.
Logo, os autovalores são
\lambda_1=0,\quad \lambda_2=\lambda_3=3.

Passo 3

Para \lambda_1=0 resolvemos A\,v=0. Isso dá o sistema
-3y+3z=0,\quad -3x+3z=0,\quad -3x-3y+6z=0,
cuja solução é x=y=z. Um autovetor associado é
v_0=\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 4

Para \lambda=3 resolvemos (A-3I)v=0, ou seja
-3x-3y+3z=0\quad\Longrightarrow\quad z=x+y.
Isso gera espaço de dimensão 2. Podemos escolher os autovetores
v_1=\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix},\quad v_2=\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 5

Como temos três autovetores independentes, a solução geral é combinação linear de cada modo exponencial:
X(t) =C_1e^{0\cdot t}v_0 +C_2e^{3t}v_1 +C_3e^{3t}v_2.

Resposta

X(t) =C_1\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix} +e^{3t}\Bigl[ C_2\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix} +C_3\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix} \Bigr],
com C_1,C_2,C_3\in\mathbb{R} constantes determinadas pelas condições iniciais.

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