Exercício 8. Ache a solução geral do sistema de equações dado:
\left\{\begin{array}{l}x_{1}^{\prime}(t)=-x_{1}(t) \\\ x_{2}^{\prime}(t)=x_{1}(t)\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear de primeira ordem em que a primeira equação é
x_{1}'(t)=-x_{1}(t)
e a segunda depende de x_{1}(t):
x_{2}'(t)=x_{1}(t).
O plano é: primeiro resolver a equação desacoplada para x_{1} e, em seguida, usar esse resultado para encontrar x_{2}.

Passo 2

A equação
x_{1}'(t)=-x_{1}(t)
é de separação de variáveis (ou reconhecível como equação de exponencial decaindo). A solução geral é
x_{1}(t)=C_{1}e^{-t},
onde C_{1} é uma constante arbitrária.

Passo 3

Agora usamos esse x_{1}(t) para resolver
x_{2}'(t)=x_{1}(t)=C_{1}e^{-t}.
Integrando em relação a t,
x_{2}(t)=\int C_{1}e^{-t}\,dt=-C_{1}e^{-t}+C_{2},
onde C_{2} é outra constante de integração.

Passo 4

Reunindo as duas componentes, a solução geral do sistema é
x_{1}(t)=C_{1}e^{-t},\qquad x_{2}(t)=-C_{1}e^{-t}+C_{2},
com C_{1},C_{2}\in\mathbb{R}.

Resposta

x_{1}(t)=C_{1}e^{-t},\quad x_{2}(t)=-C_{1}e^{-t}+C_{2}.

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