Exercício 2 - Resolva os seguintes problemas de valor inicial
\left(x \cos ^{2}\left(\frac{y}{x}\right)-y\right)+x \frac{d y}{d x}=0, y(1)=\frac{\pi}{4}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial:
\left(x \cos^{2}\!\left(\frac{y}{x}\right)-y\right)+x\frac{dy}{dx}=0, \qquad y(1)=\frac{\pi}{4}.
O que é pedido: encontrar a função y(x) que satisfaz essa equação diferencial e a condição y(1)=\dfrac{\pi}{4}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação envolve expressões de y/x (ou seja, aparece a razão y/x).
  • A condição inicial está em x=1 com y(1)=\pi/4.
  • Não há outras informações numéricas além dessas.

Passo 2

Organizar a equação para isolar \dfrac{dy}{dx}. Começo distribuindo termos:
x\frac{dy}{dx} + x\cos^{2}\!\left(\frac{y}{x}\right) - y = 0.
Isolando o termo da derivada:
x\frac{dy}{dx} = y - x\cos^{2}\!\left(\frac{y}{x}\right).
Dividindo por x (assumindo x\neq0, veremos o domínio depois):
\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} - \cos^{2}\!\left(\frac{y}{x}\right).
Observe que o lado direito depende apenas da razão \dfrac{y}{x}. Isso sugere usar uma substituição do tipo v=\dfrac{y}{x}.

Passo 3

Fazer a substituição v=\dfrac{y}{x}. Vou explicar direitinho:
  • Definição: v(x)=\dfrac{y(x)}{x}. Isso transforma uma equação que depende de y/x numa equação para v.
  • Relação entre derivadas: como y=xv, aplicando a regra do produto,
\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}.
Agora substituo essa expressão e v=\dfrac{y}{x} na equação obtida no passo anterior:
v + x\frac{dv}{dx} = v - \cos^{2}(v).

Passo 4

Simplificar a equação em v. Cancelando v dos dois lados:
x\frac{dv}{dx} = -\cos^{2}(v).
Esta é uma equação separável: as variáveis v e x aparecem multiplicativamente e podem ser separadas para integrar. Vou separar colocando os termos em v de um lado e os termos em x do outro:
\frac{dv}{\cos^{2}(v)} = -\frac{dx}{x}.
Nota didática: \dfrac{1}{\cos^{2}(v)} é a função \operatorname{sec}^{2}(v). Sabe-se que a derivada de \tan(v) é \operatorname{sec}^{2}(v), então a integral de \operatorname{sec}^{2}(v)\,dv é \tan(v).

Passo 5

Integrar ambos os lados. Usando a observação anterior,
\int \frac{dv}{\cos^{2}(v)} = \int -\frac{dx}{x} \qquad\Longrightarrow\qquad \int \operatorname{sec}^{2}(v)\,dv = -\int \frac{dx}{x}.
As integrais são conhecidas:
\tan(v) = -\ln|x| + C,
onde C é constante de integração. Esta é uma relação implícita entre v e x.

Passo 6

Voltar à variável original y e aplicar a condição inicial para determinar C. Primeiro lembre que v=\dfrac{y}{x}, então a relação é
\tan\!\left(\frac{y}{x}\right) = -\ln|x| + C.
Agora uso a condição inicial y(1)=\dfrac{\pi}{4}. Para x=1 temos \dfrac{y(1)}{1}=\dfrac{\pi}{4}, portanto
\tan\!\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 = -\ln|1| + C = 0 + C.
Logo C=1. Substituindo na relação implícita:
\tan\!\left(\frac{y}{x}\right) = 1 - \ln|x|.

Passo 7

Resolver explicitamente para y (explicando cada passo): aplicar a função inversa \arctan nos dois lados dá
\frac{y}{x} = \arctan\!\bigl(1 - \ln|x|\bigr).
Multiplicando por x,
y(x) = x\;\arctan\!\bigl(1 - \ln|x|\bigr).
Sobre o domínio: a condição inicial está em x=1>0. Para uma vizinhança de x=1 é natural escolher x>0 (assim \ln|x|=\ln x e tudo é contínuo). A solução obtida é válida, pelo menos, em um intervalo onde x>0.

Passo 8

Resumo didático final e incentivo rápido: o ponto-chave foi reconhecer que a equação é homogênea no sentido de depender apenas de y/x, usar v=y/x para reduzir a ordem da dependência, obter uma equação separável em v e x, integrar usando que \dfrac{d}{dv}\tan v=\operatorname{sec}^{2}v e aplicar a condição inicial para achar a constante. Você conseguiu — respirou, fez a substituição certa e integrou direitinho. Continua assim!

Resposta

y(x)=x\arctan\!\bigl(1-\ln x\bigr),\quad x>0

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