Exercício 2 - Resolva os seguintes problemas de valor inicial
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial:
O que é pedido: encontrar a função
que satisfaz essa equação diferencial e a condição
.
Informações relevantes fornecidas:
- A equação envolve expressões de
(ou seja, aparece a razão ). - A condição inicial está em
com . - Não há outras informações numéricas além dessas.
Passo 2
Organizar a equação para isolar
. Começo distribuindo termos:
Isolando o termo da derivada:
Dividindo por
(assumindo
, veremos o domínio depois):
Observe que o lado direito depende apenas da razão
. Isso sugere usar uma substituição do tipo
.
Passo 3
Fazer a substituição
. Vou explicar direitinho:
- Definição:
. Isso transforma uma equação que depende de numa equação para . - Relação entre derivadas: como
, aplicando a regra do produto,
Agora substituo essa expressão e
na equação obtida no passo anterior:
Passo 4
Simplificar a equação em
. Cancelando
dos dois lados:
Esta é uma equação separável: as variáveis
e
aparecem multiplicativamente e podem ser separadas para integrar. Vou separar colocando os termos em
de um lado e os termos em
do outro:
Nota didática:
é a função
. Sabe-se que a derivada de
é
, então a integral de
é
.
Passo 5
Integrar ambos os lados. Usando a observação anterior,
As integrais são conhecidas:
onde
é constante de integração. Esta é uma relação implícita entre
e
.
Passo 6
Voltar à variável original
e aplicar a condição inicial para determinar
. Primeiro lembre que
, então a relação é
Agora uso a condição inicial
. Para
temos
, portanto
Logo
. Substituindo na relação implícita:
Passo 7
Resolver explicitamente para
(explicando cada passo): aplicar a função inversa
nos dois lados dá
Multiplicando por
,
Sobre o domínio: a condição inicial está em
. Para uma vizinhança de
é natural escolher
(assim
e tudo é contínuo). A solução obtida é válida, pelo menos, em um intervalo onde
.
Passo 8
Resumo didático final e incentivo rápido: o ponto-chave foi reconhecer que a equação é homogênea no sentido de depender apenas de
, usar
para reduzir a ordem da dependência, obter uma equação separável em
e
, integrar usando que
e aplicar a condição inicial para achar a constante. Você conseguiu — respirou, fez a substituição certa e integrou direitinho. Continua assim!