Exercício 2 - Resolva os seguintes problemas de valor inicial
\frac{d y}{d x}=\frac{2 x y-y^{2}}{2 x y-x^{2}}, \quad y(1)=2

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
\frac{dy}{dx}=\frac{2xy-y^{2}}{2xy-x^{2}},\qquad y(1)=2.
O que é pedido: encontrar a função y(x) que satisfaz essa equação diferencial e a condição inicial dada. Informações relevantes fornecidas:
  • A equação diferencial está expressa como uma razão de polinômios em x e y.
  • A condição inicial é y(1)=2.

Passo 2

Vamos transformar a equação para uma forma que dê para resolver. Observe que ambos numerador e denominador são polinômios homogêneos de grau 2 em x e y (cada termo tem grau total 2). Para equações onde os termos são homogêneos do mesmo grau é comum usar a substituição
y=vx,
onde v é função de x. Antes de substituir, lembramos a fórmula de diferenciação dessa substituição:
\frac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx}.
Esta fórmula vem da regra do produto aplicada a y(x)=v(x)\,x.

Passo 3

Agora substituímos y=vx na equação dada. Primeiro calculamos o lado direito em função de v:
\frac{2xy-y^{2}}{2xy-x^{2}} = \frac{2x(vx)-(vx)^{2}}{2x(vx)-x^{2}} = \frac{2v x^{2}-v^{2}x^{2}}{2v x^{2}-x^{2}} = \frac{2v-v^{2}}{2v-1}.
Portanto a equação diferencial fica
v+x\frac{dv}{dx}=\frac{2v-v^{2}}{2v-1}.

Passo 4

Isolamos x\,dv/dx:
x\frac{dv}{dx} =\frac{2v-v^{2}}{2v-1}-v.
Fazemos a diferença no lado direito com denominação comum 2v-1:
\frac{2v-v^{2}}{2v-1}-v =\frac{2v-v^{2}-v(2v-1)}{2v-1} =\frac{2v-v^{2}-2v^{2}+v}{2v-1} =\frac{3v-3v^{2}}{2v-1} =\frac{3v(1-v)}{2v-1}.
Então obtemos a equação separável
x\frac{dv}{dx}=\frac{3v(1-v)}{2v-1}.

Passo 5

Separamos variáveis para integrar:
\frac{2v-1}{v(1-v)}\,dv=3\frac{dx}{x}.
Agora vamos integrar ambos os lados. O integrando à esquerda precisa de decomposição em frações parciais para ficar simples de integrar.

Passo 6

Fazemos a decomposição
\frac{2v-1}{v(1-v)}=\frac{A}{v}+\frac{B}{1-v}.
Multiplicando por v(1-v) obtemos
2v-1 = A(1-v)+Bv = A + (B-A)v.
Comparando coeficientes: constante A=-1 e coeficiente de v satisfaz B-A=2, logo B=1. Assim
\frac{2v-1}{v(1-v)}=-\frac{1}{v}+\frac{1}{1-v}.

Passo 7

Integramos ambos os lados:
\int\left(-\frac{1}{v}+\frac{1}{1-v}\right)dv=\int 3\frac{dx}{x}.
As integrais são simples:
-\ln|v|-\ln|1-v|=3\ln|x|+C,
onde C é constante de integração. Podemos juntar os logaritmos:
-\ln\bigl(|v(1-v)|\bigr)=3\ln|x|+C.
Multiplicando por -1 e reescrevendo a constante, obtemos
\ln\bigl(|v(1-v)|\bigr)=-3\ln|x|+C_1,
ou exponenciando,
v(1-v)=K x^{-3},
onde K=e^{C_1} é uma constante (pode ser qualquer número real, com sinal incluído).

Passo 8

Voltando à variável original y usando v=\dfrac{y}{x}, temos
\frac{y}{x}\Bigl(1-\frac{y}{x}\Bigr)=K x^{-3}.
Multiplicando por x^{3} para simplificar,
x y (x-y)=K.
Esta é a forma implícita geral da solução.

Passo 9

Aplicamos a condição inicial y(1)=2 para determinar K:
(1)\cdot 2\cdot(1-2)=K \quad\Rightarrow\quad K=2\cdot(-1)=-2.
Portanto a solução implícita que satisfaz a condição inicial é
x y (x-y)=-2.

Passo 10

Podemos escrever a solução de forma explícita em y. Reescrevendo a equação implícita como uma quadrática em y:
x y (x-y)=-2 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}y-xy^{2}+2=0.
Organizando como a y^{2}+b y + c=0:
x y^{2}-x^{2}y-2=0.
Aplicando a fórmula de Bhaskara para y (com a=x, b=-x^{2}, c=-2):
y=\frac{x^{2}\pm\sqrt{x^{4}+8x}}{2x}.
Das duas raízes possíveis, a que satisfaz y(1)=2 é a escolha do sinal +, pois com x=1 isso dá y=(1+\sqrt{9})/2=2. Logo a solução explícita obediente à condição inicial é
y(x)=\frac{x^{2}+\sqrt{x^{4}+8x}}{2x},
válida para x em domínio onde a expressão está definida (em particular x\neq 0 e o radicando x^{4}+8x\ge 0; a solução é contínua e passa por x=1).

Resposta

y(x)=\frac{x^{2}+\sqrt{x^{4}+8x}}{2x}

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