Exercício 2 - Resolva os seguintes problemas de valor inicial
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial
O que é pedido: encontrar a função
que satisfaz essa equação diferencial e a condição inicial dada. Informações relevantes fornecidas:
- A equação diferencial está expressa como uma razão de polinômios em
e . - A condição inicial é
.
Passo 2
Vamos transformar a equação para uma forma que dê para resolver. Observe que ambos numerador e denominador são polinômios homogêneos de grau
em
e
(cada termo tem grau total
). Para equações onde os termos são homogêneos do mesmo grau é comum usar a substituição
onde
é função de
. Antes de substituir, lembramos a fórmula de diferenciação dessa substituição:
Esta fórmula vem da regra do produto aplicada a
.
Passo 3
Agora substituímos
na equação dada. Primeiro calculamos o lado direito em função de
:
Portanto a equação diferencial fica
Passo 4
Isolamos
:
Fazemos a diferença no lado direito com denominação comum
:
Então obtemos a equação separável
Passo 5
Separamos variáveis para integrar:
Agora vamos integrar ambos os lados. O integrando à esquerda precisa de decomposição em frações parciais para ficar simples de integrar.
Passo 6
Fazemos a decomposição
Multiplicando por
obtemos
Comparando coeficientes: constante
e coeficiente de
satisfaz
, logo
. Assim
Passo 7
Integramos ambos os lados:
As integrais são simples:
onde
é constante de integração. Podemos juntar os logaritmos:
Multiplicando por
e reescrevendo a constante, obtemos
ou exponenciando,
onde
é uma constante (pode ser qualquer número real, com sinal incluído).
Passo 8
Voltando à variável original
usando
, temos
Multiplicando por
para simplificar,
Esta é a forma implícita geral da solução.
Passo 9
Aplicamos a condição inicial
para determinar
:
Portanto a solução implícita que satisfaz a condição inicial é
Passo 10
Podemos escrever a solução de forma explícita em
. Reescrevendo a equação implícita como uma quadrática em
:
Organizando como
:
Aplicando a fórmula de Bhaskara para
(com
,
,
):
Das duas raízes possíveis, a que satisfaz
é a escolha do sinal
, pois com
isso dá
. Logo a solução explícita obediente à condição inicial é
válida para
em domínio onde a expressão está definida (em particular
e o radicando
; a solução é contínua e passa por
).