Exercício 2 - Resolva os seguintes problemas de valor inicial
Passo 1
O enunciado pede resolver o problema de valor inicial dado por
Informações fornecidas:
- A equação diferencial é a relação acima entre
e . - A condição inicial é
.
O objetivo é encontrar uma funçãoque satisfaça a equação diferencial e a condição inicial.
Passo 2
Primeira observação e simplificação. Como o termo à direita envolve
, é natural dividir ambos os lados por
(assumindo
) para simplificar:
Essa forma sugere tentar uma substituição que elimine o quociente
, tornando a equação mais simples.
Passo 3
Fazer a substituição clássica para esse tipo de equação: definir a nova variável
Explicando a razão: com
queremos expressar
em termos de
e
. Como
, derivando em relação a
(produto) obtemos
Essa expressão permite substituir
e
na equação original.
Passo 4
Substituir na equação simplificada. Usando
e
temos
Os termos
se cancelam dos dois lados, restando
Agora a equação está numa forma separável: todas as dependências em
num lado e em
no outro.
Passo 5
Resolver a equação separável. Reescrever separando variáveis:
Explicando a integral:
. Integrando ambos os lados:
Calcular as integrais. A primitiva de
é
porque
. A primitiva de
é
. Portanto
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Determinar a constante usando a condição inicial. Primeiro voltar à variável original: quando
temos
, então
Substituindo
e
na relação integrada:
logo
Substituindo
na expressão integrada obtemos
Multiplicando por
dá
Passo 7
Resolver para
explicitamente. Como
, o lado direito precisa ser positivo, o que já indica uma restrição de domínio que vamos comentar em seguida. Aplicando logaritmo:
Voltando à variável
por
, obtemos a solução explícita
Passo 8
Discussão sobre domínio e verificação rápida. Para a fórmula acima fazer sentido é necessário
Como a condição inicial está em
(positivo), o intervalo de validade da solução que contém
é
. Verificação rápida da condição inicial: para
,
portanto a condição inicial é satisfeita.