Exercício 2 - Resolva os seguintes problemas de valor inicial
x \frac{d y}{d x}=x e^{y / x}+y, y(1)=0

Passo 1

O enunciado pede resolver o problema de valor inicial dado por
x\frac{dy}{dx}=x e^{y/x}+y,\qquad y(1)=0.
Informações fornecidas:
  • A equação diferencial é a relação acima entre y e x.
  • A condição inicial é y(1)=0.
    O objetivo é encontrar uma função y(x) que satisfaça a equação diferencial e a condição inicial.

Passo 2

Primeira observação e simplificação. Como o termo à direita envolve y/x, é natural dividir ambos os lados por x (assumindo x\neq0) para simplificar:
\frac{dy}{dx}=e^{y/x}+\frac{y}{x}.
Essa forma sugere tentar uma substituição que elimine o quociente y/x, tornando a equação mais simples.

Passo 3

Fazer a substituição clássica para esse tipo de equação: definir a nova variável
v=\frac{y}{x}.
Explicando a razão: com v=y/x queremos expressar dy/dx em termos de v e dv/dx. Como y=xv, derivando em relação a x (produto) obtemos
\frac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx}.
Essa expressão permite substituir dy/dx e y/x na equação original.

Passo 4

Substituir na equação simplificada. Usando \dfrac{dy}{dx}=v+x\dfrac{dv}{dx} e \dfrac{y}{x}=v temos
v+x\frac{dv}{dx}=e^{v}+v.
Os termos v se cancelam dos dois lados, restando
x\frac{dv}{dx}=e^{v}.
Agora a equação está numa forma separável: todas as dependências em v num lado e em x no outro.

Passo 5

Resolver a equação separável. Reescrever separando variáveis:
\frac{dv}{e^{v}}=\frac{dx}{x}.
Explicando a integral: \dfrac{dv}{e^{v}}=e^{-v}\,dv. Integrando ambos os lados:
\int e^{-v}\,dv=\int \frac{dx}{x}.
Calcular as integrais. A primitiva de e^{-v} é -e^{-v} porque \dfrac{d}{dv}(-e^{-v})=e^{-v}. A primitiva de \dfrac{1}{x} é \ln|x|. Portanto
- e^{-v}=\ln|x|+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Determinar a constante usando a condição inicial. Primeiro voltar à variável original: quando x=1 temos y(1)=0, então
v(1)=\frac{y(1)}{1}=0.
Substituindo x=1 e v=0 na relação integrada:
- e^{0}=\ln|1|+C \quad\Rightarrow\quad -1 = 0 + C,
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C=-1.
Substituindo C na expressão integrada obtemos
- e^{-v}=\ln|x|-1.
Multiplicando por -1
e^{-v}=1-\ln|x|.

Passo 7

Resolver para v explicitamente. Como e^{-v}>0, o lado direito precisa ser positivo, o que já indica uma restrição de domínio que vamos comentar em seguida. Aplicando logaritmo:
- v=\ln\!\bigl(1-\ln|x|\bigr)\quad\Rightarrow\quad v=-\ln\!\bigl(1-\ln|x|\bigr).
Voltando à variável y por y=xv, obtemos a solução explícita
y(x)=-x\ln\!\bigl(1-\ln|x|\bigr).

Passo 8

Discussão sobre domínio e verificação rápida. Para a fórmula acima fazer sentido é necessário
1-\ln|x|>0 \quad\Longleftrightarrow\quad \ln|x|<1 \quad\Longleftrightarrow\quad |x|<e.
Como a condição inicial está em x=1 (positivo), o intervalo de validade da solução que contém 1 é 0<x<e. Verificação rápida da condição inicial: para x=1,
y(1)=-1\cdot\ln\!\bigl(1-\ln 1\bigr)=-\ln(1-0)=-\ln 1=0,
portanto a condição inicial é satisfeita.

Resposta

y(x)=-x\ln\!\bigl(1-\ln|x|\bigr),\quad válido para 0<x<e (intervalo que contém a condição y(1)=0).

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