Exercício 4. Resolva os seguintes PVIs:
\frac{d y}{d x}=\frac{x y}{x^{2}+1}, \quad y(0)=3.

Passo 1

O enunciado dá uma equação diferencial com condição inicial e pede a solução que satisfaz essa condição. Informações fornecidas:
  • Equação diferencial: \displaystyle \frac{d y}{d x}=\frac{x\,y}{x^{2}+1}.
  • Condição inicial: \displaystyle y(0)=3.
    O que é pedido: encontrar a função y(x) definida em um intervalo que contenha x=0 e que satisfaça a equação diferencial e a condição inicial.

Passo 2

Escolha do método e ideia geral (explicada de modo didático).
A equação dada pode ser tratada isolando os termos que contêm y de um lado e os que contêm x do outro (método de separação de variáveis). A ideia é escrever a equação na forma
\text{(função de \(y\))}\;dy=\text{(função de \(x\))}\;dx,çãçã
e então integrar ambos os lados. Aqui a razão para escolher esse método é que o lado direito é um produto de x por y dividido por uma função só de x, de modo que dá para reorganizar para ter uma função só de y multiplicando dy e uma função só de x multiplicando dx.
Explicando o conceito que vamos usar:
  • Separar variáveis significa coletar todos os fatores com y e dy em um lado e todos os fatores com x e dx no outro.
  • Depois integramos: a integral de 1/y em relação a y é \ln|y|. Para integrais do tipo \int \dfrac{x}{x^{2}+1}\,dx usamos a substituição u=x^{2}+1, pois du=2x\,dx.

Passo 3

Separar as variáveis na equação dada.
Partimos de
\frac{d y}{d x}=\frac{x\,y}{x^{2}+1}.
Queremos colocar todos os termos com y acompanhando dy e os com x com dx. Dividindo por y (supondo momentaneamente y\neq0, o caso y\equiv0 também é uma solução potencial que verificamos depois) e multiplicando por dx, obtemos
\frac{1}{y}\,dy=\frac{x}{x^{2}+1}\,dx.

Passo 4

Integrar ambos os lados.
Integramos os dois lados em relação às suas variáveis:
\int \frac{1}{y}\,dy=\int \frac{x}{x^{2}+1}\,dx.
Calculemos cada integral separadamente.
Para a integral à esquerda vale a fórmula básica
\int \frac{1}{y}\,dy=\ln|y|+C_1,
onde C_1 é uma constante.
Para a integral à direita fazemos a substituição u=x^{2}+1. Então du=2x\,dx, logo x\,dx=\tfrac{1}{2}\,du. Assim
\int \frac{x}{x^{2}+1}\,dx=\int \frac{1}{2}\frac{1}{u}\,du=\frac{1}{2}\ln|u|+C_2=\frac{1}{2}\ln\bigl(x^{2}+1\bigr)+C_2.
Juntando os resultados (podemos agregar as constantes C_1 e C_2 numa única constante C), temos
\ln|y|=\frac{1}{2}\ln\bigl(x^{2}+1\bigr)+C.

Passo 5

Resolver para y (exponenciação e tratamento da constante).
Aplicando exponencial em ambos os lados:
|y|=e^{C}\,\bigl(x^{2}+1\bigr)^{1/2}.
Chamando C' = e^{C} (nota: C'>0), obtemos
|y|=C'\sqrt{x^{2}+1}.
Isso significa que
y=\pm C'\sqrt{x^{2}+1}.
Para incorporar o sinal já no C' podemos definir uma constante real K tal que y=K\sqrt{x^{2}+1} (aqui K pode ser qualquer número real). Portanto a família geral de soluções obtida pela separação é
y(x)=K\sqrt{x^{2}+1},
onde K\in\mathbb{R} é uma constante arbitrária.
Observação rápida sobre y\equiv0: tomando K=0 recuperamos a solução trivial y(x)\equiv0.

Passo 6

Aplicar a condição inicial para determinar K.
Usamos a condição y(0)=3. Substituindo x=0 na expressão geral:
y(0)=K\sqrt{0^{2}+1}=K\cdot 1=K.
Como y(0)=3, segue que K=3.
Portanto a solução particular que satisfaz a condição inicial é
y(x)=3\sqrt{x^{2}+1}.

Passo 7

Verificação rápida (controle de erro).
Podemos verificar diferenciando a solução encontrada:
y(x)=3\bigl(x^{2}+1\bigr)^{1/2}\quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{dx}=3\cdot\frac{1}{2}\bigl(x^{2}+1\bigr)^{-1/2}\cdot 2x=3\,\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}.
Agora compute o lado direito da EDO usando y:
\frac{x\,y}{x^{2}+1}=\frac{x\cdot 3\sqrt{x^{2}+1}}{x^{2}+1}=3\,\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}.
Ambos os lados coincidem, logo a solução está correta e satisfaz y(0)=3.

Resposta

\displaystyle y(x)=3\sqrt{x^{2}+1}

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