Exercício 4. Resolva os seguintes PVIs:
.
Passo 1
O enunciado dá uma equação diferencial com condição inicial e pede a solução que satisfaz essa condição. Informações fornecidas:
- Equação diferencial:
- Condição inicial:
O que é pedido: encontrar a funçãodefinida em um intervalo que contenha e que satisfaça a equação diferencial e a condição inicial.
Passo 2
Escolha do método e ideia geral (explicada de modo didático).
A equação dada pode ser tratada isolando os termos que contêm de um lado e os que contêm
do outro (método de separação de variáveis). A ideia é escrever a equação na forma
A equação dada pode ser tratada isolando os termos que contêm
e então integrar ambos os lados. Aqui a razão para escolher esse método é que o lado direito é um produto de
por
dividido por uma função só de
, de modo que dá para reorganizar para ter uma função só de
multiplicando
e uma função só de
multiplicando
.
Explicando o conceito que vamos usar:
- Separar variáveis significa coletar todos os fatores com
e em um lado e todos os fatores com e no outro. - Depois integramos: a integral de
em relação a é . Para integrais do tipo usamos a substituição , pois .
Passo 3
Separar as variáveis na equação dada.
Partimos de
Partimos de
Queremos colocar todos os termos com
acompanhando
e os com
com
. Dividindo por
(supondo momentaneamente
, o caso
também é uma solução potencial que verificamos depois) e multiplicando por
, obtemos
Passo 4
Integrar ambos os lados.
Integramos os dois lados em relação às suas variáveis:
Integramos os dois lados em relação às suas variáveis:
Calculemos cada integral separadamente.
Para a integral à esquerda vale a fórmula básica
onde
é uma constante.
Para a integral à direita fazemos a substituição
. Então
, logo
. Assim
Juntando os resultados (podemos agregar as constantes
e
numa única constante
), temos
Passo 5
Resolver para
(exponenciação e tratamento da constante).
Aplicando exponencial em ambos os lados:
Aplicando exponencial em ambos os lados:
Chamando
(nota:
), obtemos
Isso significa que
Para incorporar o sinal já no
podemos definir uma constante real
tal que
(aqui
pode ser qualquer número real). Portanto a família geral de soluções obtida pela separação é
onde
é uma constante arbitrária.
Observação rápida sobre
: tomando
recuperamos a solução trivial
.
Passo 6
Aplicar a condição inicial para determinar
.
Usamos a condição . Substituindo
na expressão geral:
Usamos a condição
Como
, segue que
.
Portanto a solução particular que satisfaz a condição inicial é
Passo 7
Verificação rápida (controle de erro).
Podemos verificar diferenciando a solução encontrada:
Podemos verificar diferenciando a solução encontrada:
Agora compute o lado direito da EDO usando
:
Ambos os lados coincidem, logo a solução está correta e satisfaz
.