Para resolver cada uma fazemos uma análise de sinais. Identificamos os pontos críticos (zeros dos numeradores e zero do denominador):
Para \dfrac{1+6x}{1+x}: numerador zero em 1+6x=0\Rightarrow x=-\tfrac{1}{6}. Denominador zero em 1+x=0\Rightarrow x=-1.
Para \dfrac{7+2x}{1+x}: numerador zero em 7+2x=0\Rightarrow x=-\tfrac{7}{2}. Denominador zero novamente em x=-1.
Assim os pontos críticos são x=-\infty,\; -\tfrac{7}{2},\; -1,\; -\tfrac{1}{6},\; +\infty. Vamos analisar o sinal de cada fração em cada intervalo entre esses pontos.
Passo 6
Análise de sinais por intervalo (de forma direta e simples):
Intervalo (-\infty,-\tfrac{7}{2}).
Para x<-\tfrac{7}{2} temos 7+2x<0 (numerador negativo) e 1+x<0 (denominador negativo), então \dfrac{7+2x}{1+x}>0.
Também para x<-\tfrac{7}{2} temos 1+6x<0 (numerador negativo) e 1+x<0 (denominador negativo), então \dfrac{1+6x}{1+x}>0.
Conclusão: ambos são \ge 0 nesse intervalo (inclusive o ponto -\tfrac{7}{2} dá zero na segunda fração), então (-\infty,-\tfrac{7}{2}] é candidato.
Intervalo (-\tfrac{7}{2},-1).
Aqui 7+2x>0 (numerador positivo) e 1+x<0 (denom negativo) ⇒ \dfrac{7+2x}{1+x}<0.
Para 1+6x também é negativo (pois x<-1< -\tfrac{1}{6}) e denom negativo ⇒ \dfrac{1+6x}{1+x}>0.
Conclusão: a segunda fração é negativa, logo a condição "ambas \ge 0" falha nesse intervalo. Não inclui.
Ponto x=-1.
Indefinido (denominador zero). Não pode ser incluído.
Intervalo (-1,-\tfrac{1}{6}).
Aqui 1+x>0 (denom positivo).
Para x nesse intervalo temos 1+6x<0 (numerador negativo) ⇒ \dfrac{1+6x}{1+x}<0.
Para 7+2x>0 (numerador positivo) ⇒ \dfrac{7+2x}{1+x}>0.
Conclusão: a primeira fração é negativa, então a condição conjunta falha. Não inclui.
Intervalo [-\tfrac{1}{6},\infty).
Para x\ge -\tfrac{1}{6} temos 1+6x\ge 0 (zero em -\tfrac{1}{6}, positivo depois) e 1+x>0 (já que -\tfrac{1}{6}>-1), então \dfrac{1+6x}{1+x}\ge 0.
Também para x>-1 (portanto aqui em particular) temos 7+2x>0 e denom >0 ⇒ \dfrac{7+2x}{1+x}>0.
Conclusão: todo o intervalo [-\tfrac{1}{6},\infty) satisfaz ambas as desigualdades (inclui -\tfrac{1}{6} onde a primeira fração é zero).
Juntando os trechos válidos das análises: (-\infty,-\tfrac{7}{2}] \cup [-\tfrac{1}{6},\infty). Lembrete: x=-1 não aparece em nenhum desses intervalos, então não há necessidade de remover mais nada.