Exercício 7 - Resolver as inequações.
\left|\frac{3-2 x}{1+x}\right| \leq 4

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
\left|\frac{3-2x}{1+x}\right| \leq 4.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A expressão contém uma razão com denominador 1+x, portanto x\neq -1 (valor que anula o denominador e deixa a expressão sem sentido).
  • A pergunta é: determinar todos os valores de x que satisfazem a inequação acima.

Passo 2

Regra do valor absoluto que vamos usar: para qualquer expressão A e k\ge 0,
|A|\le k \quad\Longleftrightarrow\quad -k \le A \le k.
Aqui A=\dfrac{3-2x}{1+x} e k=4. Então a inequação é equivalente ao sistema duplo
-4 \le \frac{3-2x}{1+x} \le 4.
Agora vamos resolver as duas desigualdades que compõem essa dupla desigualdade.

Passo 3

Resolver a desigualdade da direita: \dfrac{3-2x}{1+x}\le 4.
Colocar em forma única subtraindo 4:
\frac{3-2x}{1+x}-4 \le 0.
Colocando sobre um denominador comum:
\frac{3-2x-4(1+x)}{1+x} \le 0.
Calcule o numerador:
3-2x-4-4x = -1-6x = -(1+6x).
Logo
\frac{-(1+6x)}{1+x} \le 0.
Multiplicando ambos os lados por -1 (isso inverte o sinal da desigualdade) obtemos a forma mais conveniente:
\frac{1+6x}{1+x} \ge 0.

Passo 4

Resolver a desigualdade da esquerda: \dfrac{3-2x}{1+x}\ge -4.
Procedimento análogo: somar 4 aos dois lados (ou trazer para um lado)
\frac{3-2x}{1+x}+4 \ge 0,
\frac{3-2x+4(1+x)}{1+x} \ge 0.
Calcule o numerador:
3-2x+4+4x = 7+2x.
Portanto
\frac{7+2x}{1+x} \ge 0.

Passo 5

Resumo do que precisamos satisfazer simultaneamente (e lembrar x\neq -1):
\frac{1+6x}{1+x} \ge 0 \qquad\text{e}\qquad \frac{7+2x}{1+x} \ge 0.
Para resolver cada uma fazemos uma análise de sinais. Identificamos os pontos críticos (zeros dos numeradores e zero do denominador):
  • Para \dfrac{1+6x}{1+x}: numerador zero em 1+6x=0\Rightarrow x=-\tfrac{1}{6}. Denominador zero em 1+x=0\Rightarrow x=-1.
  • Para \dfrac{7+2x}{1+x}: numerador zero em 7+2x=0\Rightarrow x=-\tfrac{7}{2}. Denominador zero novamente em x=-1.
Assim os pontos críticos são x=-\infty,\; -\tfrac{7}{2},\; -1,\; -\tfrac{1}{6},\; +\infty. Vamos analisar o sinal de cada fração em cada intervalo entre esses pontos.

Passo 6

Análise de sinais por intervalo (de forma direta e simples):
  1. Intervalo (-\infty,-\tfrac{7}{2}).
  • Para x<-\tfrac{7}{2} temos 7+2x<0 (numerador negativo) e 1+x<0 (denominador negativo), então \dfrac{7+2x}{1+x}>0.
  • Também para x<-\tfrac{7}{2} temos 1+6x<0 (numerador negativo) e 1+x<0 (denominador negativo), então \dfrac{1+6x}{1+x}>0.
    Conclusão: ambos são \ge 0 nesse intervalo (inclusive o ponto -\tfrac{7}{2} dá zero na segunda fração), então (-\infty,-\tfrac{7}{2}] é candidato.
  1. Intervalo (-\tfrac{7}{2},-1).
  • Aqui 7+2x>0 (numerador positivo) e 1+x<0 (denom negativo) ⇒ \dfrac{7+2x}{1+x}<0.
  • Para 1+6x também é negativo (pois x<-1< -\tfrac{1}{6}) e denom negativo ⇒ \dfrac{1+6x}{1+x}>0.
    Conclusão: a segunda fração é negativa, logo a condição "ambas \ge 0" falha nesse intervalo. Não inclui.
  1. Ponto x=-1.
  • Indefinido (denominador zero). Não pode ser incluído.
  1. Intervalo (-1,-\tfrac{1}{6}).
  • Aqui 1+x>0 (denom positivo).
  • Para x nesse intervalo temos 1+6x<0 (numerador negativo) ⇒ \dfrac{1+6x}{1+x}<0.
  • Para 7+2x>0 (numerador positivo) ⇒ \dfrac{7+2x}{1+x}>0.
    Conclusão: a primeira fração é negativa, então a condição conjunta falha. Não inclui.
  1. Intervalo [-\tfrac{1}{6},\infty).
  • Para x\ge -\tfrac{1}{6} temos 1+6x\ge 0 (zero em -\tfrac{1}{6}, positivo depois) e 1+x>0 (já que -\tfrac{1}{6}>-1), então \dfrac{1+6x}{1+x}\ge 0.
  • Também para x>-1 (portanto aqui em particular) temos 7+2x>0 e denom >0 \dfrac{7+2x}{1+x}>0.
    Conclusão: todo o intervalo [-\tfrac{1}{6},\infty) satisfaz ambas as desigualdades (inclui -\tfrac{1}{6} onde a primeira fração é zero).
Juntando os trechos válidos das análises: (-\infty,-\tfrac{7}{2}] \cup [-\tfrac{1}{6},\infty). Lembrete: x=-1 não aparece em nenhum desses intervalos, então não há necessidade de remover mais nada.

Resposta

\displaystyle (-\infty,-\tfrac{7}{2}] \cup [-\tfrac{1}{6},\infty)

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