Exercício 3 - Determinar todos os intervalos de números que satisfaçam as desigualdades abaixo. Fazer a representação gráfica.
x^{2}-3 x>0

Passo 1

O enunciado pede que se determine todos os intervalos de números reais que satisfaçam a desigualdade \;x^{2}-3x>0\; e que se faça a representação gráfica desses intervalos. As informações que temos são apenas a expressão quadrática \;x^{2}-3x\; e o sinal estrito >.

Passo 2

Primeiro passo prático: escrever a expressão de uma forma que facilite analisar sinais. Observe que \;x^{2}-3x\; tem um fator comum x. Podemos fatorar:
x^{2}-3x = x(x-3).
Explicação didática: fatorar por fator comum significa procurar um termo que multiplica todos os termos do polinômio; aqui x multiplica x e -3, por isso escrevemos x(x-3). Transformamos a desigualdade em uma multiplicação de fatores, o que facilita ver onde o produto é positivo ou negativo.

Passo 3

Encontrar os pontos críticos (raízes) da expressão: resolvemos a equação associada \;x(x-3)=0\;. Pelas propriedades dos produtos, isso ocorre quando um dos fatores é zero. Assim:
x=0 \quad\text{ou}\quad x=3.
Esses dois valores particionam a reta real em três intervalos onde o sinal do produto não muda: (-\infty,0), (0,3) e (3,\infty).

Passo 4

Regra de sinais para produto: um produto de dois fatores é positivo quando os dois fatores têm o mesmo sinal (ambos positivos ou ambos negativos). Vamos analisar cada fator em cada intervalo usando pontos de teste (método prático em prova):
  • Para o intervalo (-\infty,0), escolha x=-1. Os fatores valem:
    x(-1) = -1 \quad(\text{negativo}),\qquad x-3 = -1-3 = -4 \quad(\text{negativo}).
    Dois negativos multiplicados dão positivo, então em (-\infty,0) temos x(x-3)>0.
  • Para o intervalo (0,3), escolha x=1. Os fatores valem:
    x(1)=1 \quad(\text{positivo}),\qquad x-3=1-3=-2 \quad(\text{negativo}).
    Positivo vezes negativo dá negativo, logo em (0,3) temos x(x-3)<0.
  • Para o intervalo (3,\infty), escolha x=4. Os fatores valem:
    x(4)=4 \quad(\text{positivo}),\qquad x-3=4-3=1 \quad(\text{positivo}).
    Dois positivos multiplicados dão positivo, então em (3,\infty) temos x(x-3)>0.
Observação importante sobre \;>\; estrito: nos pontos x=0 e x=3 o produto vale zero, e como a desigualdade é estrita, esses pontos não pertencem à solução.
Alternativa conceitual (útil em prova): a função f(x)=x^{2}-3x é um polinômio quadrático com coeficiente principal positivo, portanto sua parábola abre para cima; isso implica que f(x)>0 fora das raízes e f(x)<0 entre as raízes — dá o mesmo resultado acima, mais rápido.

Passo 5

Concluir a solução em forma de intervalos: os intervalos onde a desigualdade \;x^{2}-3x>0\; é verdadeira são
(-\infty,0)\quad\text{e}\quad(3,\infty),
ou de maneira unida:
(-\infty,0)\cup(3,\infty).

Passo 6

Como representar graficamente (o que desenhar na prova): desenhe uma reta numérica, marque os pontos \;0\; e \;3\; e desenhe círculos abertos nesses pontos (porque não estão incluídos). Sombream (ou trace com linha contínua) tudo à esquerda de \;0\; e tudo à direita de \;3\;. Se quiser indicar a direção até o infinito, desenhe setas nas extremidades sombreadas.

Passo 7

Dicas rápidas para a prova (resumão amigo):
  • Sempre tente fatorar o polinômio quando possível; transforma desigualdade em análise de sinais.
  • Use pontos de teste em cada intervalo ou, se souber, use a forma da parábola (coeficiente principal positivo => solução é fora das raízes para “>0”).
  • Lembre-se: igualdade estrita ">" exclui as raízes; "\ge" incluiria as raízes.

Resposta

(-\infty,0)\cup(3,\infty)

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