Exercício 3 - Determinar todos os intervalos de números que satisfaçam as desigualdades abaixo. Fazer a representação gráfica.
Passo 1
O enunciado pede que se determine todos os intervalos de números reais que satisfaçam a desigualdade
e que se faça a representação gráfica desses intervalos. As informações que temos são apenas a expressão quadrática
e o sinal estrito
.
Passo 2
Primeiro passo prático: escrever a expressão de uma forma que facilite analisar sinais. Observe que
tem um fator comum
. Podemos fatorar:
Explicação didática: fatorar por fator comum significa procurar um termo que multiplica todos os termos do polinômio; aqui
multiplica
e
, por isso escrevemos
. Transformamos a desigualdade em uma multiplicação de fatores, o que facilita ver onde o produto é positivo ou negativo.
Passo 3
Encontrar os pontos críticos (raízes) da expressão: resolvemos a equação associada
. Pelas propriedades dos produtos, isso ocorre quando um dos fatores é zero. Assim:
Esses dois valores particionam a reta real em três intervalos onde o sinal do produto não muda:
,
e
.
Passo 4
Regra de sinais para produto: um produto de dois fatores é positivo quando os dois fatores têm o mesmo sinal (ambos positivos ou ambos negativos). Vamos analisar cada fator em cada intervalo usando pontos de teste (método prático em prova):
-
Para o intervalo
, escolha . Os fatores valem: Dois negativos multiplicados dão positivo, então emtemos . -
Para o intervalo
, escolha . Os fatores valem: Positivo vezes negativo dá negativo, logo emtemos . -
Para o intervalo
, escolha . Os fatores valem: Dois positivos multiplicados dão positivo, então emtemos .
Observação importante sobre
estrito: nos pontos
e
o produto vale zero, e como a desigualdade é estrita, esses pontos não pertencem à solução.
Alternativa conceitual (útil em prova): a função
é um polinômio quadrático com coeficiente principal positivo, portanto sua parábola abre para cima; isso implica que
fora das raízes e
entre as raízes — dá o mesmo resultado acima, mais rápido.
Passo 5
Concluir a solução em forma de intervalos: os intervalos onde a desigualdade
é verdadeira são
ou de maneira unida:
Passo 6
Como representar graficamente (o que desenhar na prova): desenhe uma reta numérica, marque os pontos
e
e desenhe círculos abertos nesses pontos (porque não estão incluídos). Sombream (ou trace com linha contínua) tudo à esquerda de
e tudo à direita de
. Se quiser indicar a direção até o infinito, desenhe setas nas extremidades sombreadas.
Passo 7
Dicas rápidas para a prova (resumão amigo):
- Sempre tente fatorar o polinômio quando possível; transforma desigualdade em análise de sinais.
- Use pontos de teste em cada intervalo ou, se souber, use a forma da parábola (coeficiente principal positivo => solução é fora das raízes para “>0”).
- Lembre-se: igualdade estrita
exclui as raízes; incluiria as raízes.