Exercício 3 - Determinar todos os intervalos de números que satisfaçam as desigualdades abaixo. Fazer a representação gráfica.
Passo 1
O enunciado pede: determinar todos os intervalos de números reais
que satisfazem a desigualdade
Informações dadas e o que devemos considerar:
- Há uma raiz quadrada
; o radicando precisa ser não negativo: (isso define o domínio da desigualdade). - A desigualdade envolve um termo com raiz (sempre não negativo) à esquerda e uma expressão linear
à direita. Para resolver, será preciso tratar casos dependendo do sinal de (porque ao elevar ao quadrado só podemos garantir equivalência quando ambos lados são não negativos). - A resposta final deve vir como um intervalo (ou união de intervalos) e também será pedida uma representação gráfica (linha numérica).
Passo 2
Determinar o domínio: resolver
.
Fatorando o polinômio:
As raízes são
e
. Uma parábola com coeficiente de
positivo é positiva fora das raízes. Logo o domínio é
Isso significa que a desigualdade só faz sentido (a raiz está definida) para
nesses dois intervalos.
Passo 3
Decisão sobre o método: como há uma raiz
(sempre não negativa) e um termo linear
, é natural separar em dois casos segundo o sinal de
:
- caso A:
(ou seja, ); - caso B:
(ou seja, ).
Explicação didática rápida: se
então a parte direita é negativa enquanto a raiz é
; então a desigualdade
tende a ser automaticamente verdadeira sempre que a raiz esteja definida. Se
ambos os lados são não negativos e podemos elevar os dois lados ao quadrado sem mudar o sentido ou introduzir falsos negativos (mas atenção a possíveis soluções extraviadas se não respeitarmos o domínio).
Passo 4
Tratar o caso A:
(ou seja,
).
Interseção com o domínio (obtida no Passo 2): o domínio é
. A interseção com
é
Agora raciocínio: para qualquer
o radicando está definido (por domínio) e
enquanto
. Portanto sempre vale
para todo
. (Mesmo quando
— por exemplo em
— ainda temos
porque
.) Conclusão parcial: todo
satisfaz a desigualdade.
Passo 5
Tratar o caso B:
(ou seja,
).
Interseção com o domínio:
(porque o domínio não contém valores entre
e
, portanto o único pedaço com
é
).
Como agora ambos os lados são não negativos para
, podemos elevar ao quadrado mantendo equivalência:
Calcule o lado direito:
Substituindo:
Simplificando (subtrair
dos dois lados):
Reunindo termos em
:
Mas isso entra em contradição com a hipótese do caso B, que exige
. Além disso, lembrando que estamos restritos ao intervalo
, não há nenhum
que satisfaça
. Portanto, no caso B não existem soluções.
Passo 6
Juntando os resultados dos dois casos:
- Do caso A obtivemos todas as soluções
. - Do caso B não há soluções.
Logo o conjunto solução da desigualdade é
Representação gráfica (linha numérica): marcar todos os números à esquerda de
e incluir o ponto
. Em notação intervalo:
.
Uma forma simples de visualizar na linha numérica (texto):
… ———●====================>
-3
… ———●====================>
-3
onde o ponto em
está preenchido (incluso) e a seta para a esquerda indica que todos os números menores que
também fazem parte da solução.