Exercício 3 - Determinar todos os intervalos de números que satisfaçam as desigualdades abaixo. Fazer a representação gráfica.
\sqrt{x^{2}-2 x-15}>x+1

Passo 1

O enunciado pede: determinar todos os intervalos de números reais x que satisfazem a desigualdade
\sqrt{x^{2}-2x-15} > x+1.
Informações dadas e o que devemos considerar:
  • Há uma raiz quadrada \sqrt{\cdot}; o radicando precisa ser não negativo: x^{2}-2x-15 \ge 0 (isso define o domínio da desigualdade).
  • A desigualdade envolve um termo com raiz (sempre não negativo) à esquerda e uma expressão linear x+1 à direita. Para resolver, será preciso tratar casos dependendo do sinal de x+1 (porque ao elevar ao quadrado só podemos garantir equivalência quando ambos lados são não negativos).
  • A resposta final deve vir como um intervalo (ou união de intervalos) e também será pedida uma representação gráfica (linha numérica).

Passo 2

Determinar o domínio: resolver x^{2}-2x-15 \ge 0.
Fatorando o polinômio:
x^{2}-2x-15 = (x-5)(x+3).
As raízes são x=-3 e x=5. Uma parábola com coeficiente de x^{2} positivo é positiva fora das raízes. Logo o domínio é
x\in (-\infty,-3]\\ \cup\\ [5,\infty).
Isso significa que a desigualdade só faz sentido (a raiz está definida) para x nesses dois intervalos.

Passo 3

Decisão sobre o método: como há uma raiz \sqrt{\cdot} (sempre não negativa) e um termo linear x+1, é natural separar em dois casos segundo o sinal de x+1:
  • caso A: x+1<0 (ou seja, x<-1);
  • caso B: x+1\ge 0 (ou seja, x\ge -1).
Explicação didática rápida: se x+1<0 então a parte direita é negativa enquanto a raiz é \ge 0; então a desigualdade \sqrt{\cdot}>x+1 tende a ser automaticamente verdadeira sempre que a raiz esteja definida. Se x+1\ge 0 ambos os lados são não negativos e podemos elevar os dois lados ao quadrado sem mudar o sentido ou introduzir falsos negativos (mas atenção a possíveis soluções extraviadas se não respeitarmos o domínio).

Passo 4

Tratar o caso A: x+1<0 (ou seja, x<-1).
Interseção com o domínio (obtida no Passo 2): o domínio é (-\infty,-3]\cup[5,\infty). A interseção com x<-1 é
(-\infty,-3].
Agora raciocínio: para qualquer x\in(-\infty,-3] o radicando está definido (por domínio) e \sqrt{x^{2}-2x-15}\ge 0 enquanto x+1<0. Portanto sempre vale
\sqrt{x^{2}-2x-15} > x+1
para todo x\in(-\infty,-3]. (Mesmo quando \sqrt{\cdot}=0 — por exemplo em x=-3 — ainda temos 0>x+1 porque x+1=-2.) Conclusão parcial: todo x\in(-\infty,-3] satisfaz a desigualdade.

Passo 5

Tratar o caso B: x+1\ge 0 (ou seja, x\ge -1).
Interseção com o domínio: [5,\infty) (porque o domínio não contém valores entre -3 e 5, portanto o único pedaço com x\ge -1 é [5,\infty)).
Como agora ambos os lados são não negativos para x\in[5,\infty), podemos elevar ao quadrado mantendo equivalência:
\sqrt{x^{2}-2x-15} > x+1 \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}-2x-15 > (x+1)^{2}.
Calcule o lado direito:
(x+1)^{2} = x^{2}+2x+1.
Substituindo:
x^{2}-2x-15 > x^{2}+2x+1.
Simplificando (subtrair x^{2} dos dois lados):
-2x-15 > 2x+1.
Reunindo termos em x:
-4x-16 > 0 \quad\Longrightarrow\quad -4x>16 \quad\Longrightarrow\quad x< -4.
Mas isso entra em contradição com a hipótese do caso B, que exige x\ge -1. Além disso, lembrando que estamos restritos ao intervalo [5,\infty), não há nenhum x que satisfaça x< -4. Portanto, no caso B não existem soluções.

Passo 6

Juntando os resultados dos dois casos:
  • Do caso A obtivemos todas as soluções x\in(-\infty,-3].
  • Do caso B não há soluções.
Logo o conjunto solução da desigualdade é
(-\infty,-3].
Representação gráfica (linha numérica): marcar todos os números à esquerda de -3 e incluir o ponto x=-3. Em notação intervalo: (-\infty,-3].
Uma forma simples de visualizar na linha numérica (texto):
… ———●====================>
-3
onde o ponto em -3 está preenchido (incluso) e a seta para a esquerda indica que todos os números menores que -3 também fazem parte da solução.

Resposta

(-\infty,-3]

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