Exercício 9. (reta contida em um plano) Considere o plano \pi e a reta r de equações:
\begin{aligned} & \pi: x+2 y-z=3 \\\ & r:(x, y, z)=(2,1,1)+t(2,1,4), t \in \mathbb{R} \end{aligned}
a) Mostre que r \subset \pi.
b) Determine o plano que contém r que é ortogonal a \pi.
c) Dê um exemplo de uma reta contida em \pi que é ortogonal a r.

Passo 1

O enunciado nos dá o plano \pi e a reta r:
\pi: x+2y-z=3
r:\\ (x,y,z)=(2,1,1)+t(2,1,4),\\ t\in\mathbb{R}.
O que o exercício pede:
a) Mostrar que r\subset\pi (ou seja, toda a reta r está contida no plano \pi).
b) Determinar o plano que contém r e que é ortogonal a \pi.
c) Dar um exemplo de uma reta contida em \pi que seja ortogonal a r.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Um ponto da reta r é P_0=(2,1,1).
  • Um vetor diretor de r é v=(2,1,4).
  • Um vetor normal ao plano \pi é n=(1,2,-1) (coeficientes de x,y,z na equação de \pi).

Passo 2

Conceitos usados para (a) (explicação didática):
  • Um ponto Q=(x,y,z) pertence ao plano \pi se, ao substituir suas coordenadas na equação de \pi, a igualdade é satisfeita. Ou seja, verificar que x+2y-z=3.
  • Se um ponto P_0 da reta está em \pi e o vetor diretor v da reta é ortogonal ao vetor normal n do plano (isto é, n\cdot v=0), então toda a reta está contida no plano. Explicando por que: a equação do plano pode ser escrita como n\cdot (r - r_\pi)=0 para algum ponto r_\pi do plano. Se P_0 satisfaz a equação e qualquer ponto genérico da reta é P(t)=P_0+t v, então
n\cdot(P(t)-r_\pi)=n\cdot(P_0-r_\pi)+t\,n\cdot v.
Se n\cdot(P_0-r_\pi)=0 (ou seja, P_0 está no plano) e n\cdot v=0, então n\cdot(P(t)-r_\pi)=0 para todo t, logo todos os P(t) pertencem ao plano.

Passo 3

Verificações numéricas para (a):
  • Substituir P_0=(2,1,1) na equação de \pi:
2 + 2\cdot 1 - 1 = 2+2-1=3,
portanto P_0 satisfaz \pi, ou seja, P_0\in\pi.
  • Calcular o produto escalar n\cdot v para ver se v é ortogonal a n:
n\cdot v = (1,2,-1)\cdot(2,1,4)=1\cdot 2 + 2\cdot 1 + (-1)\cdot 4 = 2+2-4=0.
Como n\cdot v=0 e P_0\in\pi, pela razão explicada no passo anterior segue que toda a reta r está em \pi. Conclusão da parte (a): r\subset\pi.

Passo 4

Conceito e escolha de método para (b) (explicação didática):
  • Dois planos são ortogonais quando seus vetores normais são ortogonais. Ou seja, se n_\pi é normal de \pi e m for normal do plano procurado, então n_\pi\cdot m=0.
  • Além disso, o plano que procuramos deve conter a reta r. Logo seu vetor normal m deve ser ortogonal ao vetor diretor v de r: m\cdot v=0.
  • Portanto m deve ser um vetor ortogonal simultaneamente a n e a v. Um modo direto de obter um vetor ortogonal a dois vetores é usar o produto vetorial (cross product): m pode ser tomado proporcional a v\times n (ou n\times v).
Breve aula sobre produto vetorial:
  • Para a=(a_1,a_2,a_3) e b=(b_1,b_2,b_3), o produto vetorial a\times b é um vetor perpendicular a ambos a e b. Sua fórmula (computada por determinante) é:
a\times b = \big(a_2 b_3 - a_3 b_2,\; a_3 b_1 - a_1 b_3,\; a_1 b_2 - a_2 b_1\big).
  • Exemplo rápido: se a=(1,0,0) e b=(0,1,0) então a\times b=(0,0,1), que é perpendicular a ambos.

Passo 5

Cálculo do vetor normal m e da equação do plano para (b):
Calcular m=v\times n com v=(2,1,4) e n=(1,2,-1).
v\times n = \big(1\cdot(-1)-4\cdot 2,\;4\cdot 1-2\cdot(-1),\;2\cdot 2-1\cdot 1\big) = (-1-8,\;4+2,\;4-1)=(-9,6,3).
Podemos simplificar dividindo por 3 e usar m=(-3,2,1) (qualquer múltiplo não nulo serve como normal). Verificações rápidas:
m\cdot n = (-3,2,1)\cdot(1,2,-1) = -3 +4 -1 =0,
m\cdot v = (-3,2,1)\cdot(2,1,4) = -6 +2 +4 =0.
Portanto m é ortogonal tanto a n (planos ortogonais) quanto a v (plano contém a reta).
Agora escrever a equação do plano com normal m=(-3,2,1) que passe por P_0=(2,1,1). A equação vetorial é m\cdot (x-P_0)=0, ou em coordenadas:
-3(x-2) + 2(y-1) + 1(z-1)=0.
Desenvolvendo:
-3x +6 +2y -2 + z -1 = 0 \quad\Rightarrow\quad -3x +2y + z +3 = 0.
Multiplicando por -1 para ficar mais “limpo”:
3x - 2y - z = 3.
Esta é a equação do plano procurado: ele contém r e é ortogonal a \pi.

Passo 6

Construção e verificação para (c) (explicação didática):
  • Queremos uma reta contida em \pi que seja ortogonal a r. Uma reta é definida por um ponto e um vetor diretor. Para que a reta esteja em \pi, seu vetor diretor w deve satisfazer w\cdot n=0 (ou seja, ser paralelo ao plano). Para que seja ortogonal a r, deve satisfazer w\cdot v=0.
  • Assim w deve ser ortogonal tanto a n quanto a v. Já encontramos anteriormente um vetor com essa propriedade: m=(-3,2,1) satisfaz m\cdot n=0 e m\cdot v=0. Logo w=m é um candidato óbvio para o vetor diretor da reta pedida.
Escolher um ponto da reta que também esteja em \pi (podemos usar P_0=(2,1,1) que já sabemos que pertence a \pi). Então uma reta em \pi ortogonal a r é
\ell:\\ (x,y,z)=(2,1,1)+s(-3,2,1),\quad s\in\mathbb{R}.
Verificações rápidas:
  • w\cdot v = (-3,2,1)\cdot(2,1,4)= -6+2+4=0 \ell é ortogonal a r.
  • w\cdot n = (-3,2,1)\cdot(1,2,-1) = -3+4-1=0 w é paralelo a \pi, logo \ell está contida em \pi (além disso o ponto base está em \pi).
Portanto \ell é um exemplo desejado.

Resposta

a) r\subset\pi.
b) Um plano que contém r e é ortogonal a \pi tem equação 3x-2y-z=3.
c) Uma reta em \pi ortogonal a r é (x,y,z)=(2,1,1)+s(-3,2,1),\\ s\in\mathbb{R}.

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