Exercício 9. (reta contida em um plano) Considere o plano
e a reta
de equações:
a) Mostre que
.
b) Determine o plano que contém
que é ortogonal a
.
c) Dê um exemplo de uma reta contida em
que é ortogonal a
.
b) Determine o plano que contém
c) Dê um exemplo de uma reta contida em
Passo 1
O enunciado nos dá o plano
e a reta
:
O que o exercício pede:
a) Mostrar que (ou seja, toda a reta
está contida no plano
).
b) Determinar o plano que contém e que é ortogonal a
.
c) Dar um exemplo de uma reta contida em que seja ortogonal a
.
a) Mostrar que
b) Determinar o plano que contém
c) Dar um exemplo de uma reta contida em
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Um ponto da reta
é . - Um vetor diretor de
é . - Um vetor normal ao plano
é (coeficientes de na equação de ).
Passo 2
Conceitos usados para (a) (explicação didática):
- Um ponto
pertence ao plano se, ao substituir suas coordenadas na equação de , a igualdade é satisfeita. Ou seja, verificar que . - Se um ponto
da reta está em e o vetor diretor da reta é ortogonal ao vetor normal do plano (isto é, ), então toda a reta está contida no plano. Explicando por que: a equação do plano pode ser escrita como para algum ponto do plano. Se satisfaz a equação e qualquer ponto genérico da reta é , então
Se
(ou seja,
está no plano) e
, então
para todo
, logo todos os
pertencem ao plano.
Passo 3
Verificações numéricas para (a):
- Substituir
na equação de :
portanto
satisfaz
, ou seja,
.
- Calcular o produto escalar
para ver se é ortogonal a :
Como
e
, pela razão explicada no passo anterior segue que toda a reta
está em
. Conclusão da parte (a):
.
Passo 4
Conceito e escolha de método para (b) (explicação didática):
- Dois planos são ortogonais quando seus vetores normais são ortogonais. Ou seja, se
é normal de e for normal do plano procurado, então . - Além disso, o plano que procuramos deve conter a reta
. Logo seu vetor normal deve ser ortogonal ao vetor diretor de : . - Portanto
deve ser um vetor ortogonal simultaneamente a e a . Um modo direto de obter um vetor ortogonal a dois vetores é usar o produto vetorial (cross product): pode ser tomado proporcional a (ou ).
Breve aula sobre produto vetorial:
- Para
e , o produto vetorial é um vetor perpendicular a ambos e . Sua fórmula (computada por determinante) é:
- Exemplo rápido: se
e então , que é perpendicular a ambos.
Passo 5
Cálculo do vetor normal
e da equação do plano para (b):
Calcular com
e
.
Calcular
Podemos simplificar dividindo por
e usar
(qualquer múltiplo não nulo serve como normal). Verificações rápidas:
Portanto
é ortogonal tanto a
(planos ortogonais) quanto a
(plano contém a reta).
Agora escrever a equação do plano com normal
que passe por
. A equação vetorial é
, ou em coordenadas:
Desenvolvendo:
Multiplicando por
para ficar mais “limpo”:
Esta é a equação do plano procurado: ele contém
e é ortogonal a
.
Passo 6
Construção e verificação para (c) (explicação didática):
- Queremos uma reta contida em
que seja ortogonal a . Uma reta é definida por um ponto e um vetor diretor. Para que a reta esteja em , seu vetor diretor deve satisfazer (ou seja, ser paralelo ao plano). Para que seja ortogonal a , deve satisfazer . - Assim
deve ser ortogonal tanto a quanto a . Já encontramos anteriormente um vetor com essa propriedade: satisfaz e . Logo é um candidato óbvio para o vetor diretor da reta pedida.
Escolher um ponto da reta que também esteja em
(podemos usar
que já sabemos que pertence a
). Então uma reta em
ortogonal a
é
Verificações rápidas:
-
→ é ortogonal a . -
→ é paralelo a , logo está contida em (além disso o ponto base está em ).
Portanto
é um exemplo desejado.
Resposta
a)
.
b) Um plano que contém e é ortogonal a
tem equação
.
c) Uma reta em ortogonal a
é
.
b) Um plano que contém
c) Uma reta em