Exercício 6. (duas retas reversas) Considere as retas:
\begin{aligned} & r:(x, y, z)=(-1,-1,4)+t(1,1,-1), t \in \mathbb{R} \\\ & s:(x, y, z)=(1,3,7)+k(-2,0,1), k \in \mathbb{R} \end{aligned}
a) Mostre que r e s são retas reversas.
b) Calcule a distância e o ângulo entre r e s.
c) Determine o plano \pi_{1} que contém r e é paralelo a s.
d) Determine o plano \pi_{2} que contém s e é paralelo a r.
Passo 1
O enunciado dá duas retas no espaço com as representações paramétricas:
Pontos dados em cada reta (pegos da paramétrica com parâmetro zero):P_0=(-1,-1,4)\\ \text{em } r,\qquad Q_0=(1,3,7)\\ \text{em } s.
Perguntas do enunciado:
(a) Mostrar que r e s são retas reversas (ou seja, não são paralelas e não se intersectam).
(b) Calcular a distância entre r e s e o ângulo entre elas.
(c) Determinar o plano \pi_{1} que contém r e é paralelo a s.
(d) Determinar o plano \pi_{2} que contém s e é paralelo a r.
Passo 2
Mostrar que as retas não são paralelas: duas retas são paralelas se e somente se seus vetores diretores são múltiplos escalares. Verifico se existe \lambda tal que
Da segunda equação obtemos 1=0\cdot\lambda, o que é impossível. Logo não existe \lambda e as direções não são colineares; portanto as retas não são paralelas.
Passo 3
Mostrar que as retas não se intersectam: montar o sistema obtido igualando coordenadas quando r e s eventualmente se encontrassem. Para algum t,k deve haver
-1+t = 1-2k,\quad -1+t = 3+0\cdot k,\quad 4 - t = 7 + k.
Agora verificar a terceira equação com t=4 e k=-1:
4 - t = 4-4 = 0, \qquad 7 + k = 7-1 = 6,
temos 0 \neq 6. Há inconsistência: não existe par (t,k) que satisfaça as três igualdades. Portanto as retas não se intersectam. Conclusão das partes (a): as retas não são paralelas e não se intersectam, portanto são retas reversas.
Passo 4
Cálculo do ângulo entre as retas: o ângulo entre duas retas é o ângulo entre seus vetores diretores. A fórmula usa o produto escalar:
Cálculo da distância entre retas reversas: a menor distância entre duas retas reversas é dada pela componente de \overrightarrow{P_0Q_0} na direção perpendicular comum, que pode ser escrita com produto misto. Fórmula prática:
(operacão de racionalizar não é necessária, mas mostra que a forma simples é 2\sqrt{6}.)
Passo 6
Determinar o plano \pi_{1} que contém r e é paralelo a s:
Raciocínio: um plano que contém a reta r e é paralelo à reta s deve conter a direção de r e também a direção de s. Logo um vetor normal ao plano é o produto vetorial \mathbf{n}_1=\mathbf{v}_r\times\mathbf{v}_s, que já calculei e é (1,1,2). Tomando o ponto P_0=(-1,-1,4) pertencente a r, a equação do plano em forma ponto-normal é
\mathbf{n}_1\cdot\bigl((x,y,z)-P_0\bigr)=0.
Em termos explícitos:
(1,1,2)\cdot(x+1,\\ y+1,\\ z-4)=0.
Isso dá:
(x+1)+(y+1)+2(z-4)=0.
Simplificando:
x+y+2z-6=0.
Logo
\pi_{1}:\\ x+y+2z=6.
Passo 7
Determinar o plano \pi_{2} que contém s e é paralelo a r:
Raciocínio análogo: o plano deve conter a direção de s e também ser paralelo à direção de r; logo um vetor normal é \mathbf{n}_2=\mathbf{v}_s\times\mathbf{v}_r. Note que \mathbf{v}_s\times\mathbf{v}_r = -(\mathbf{v}_r\times\mathbf{v}_s)=(-1,-1,-2). Tomando o ponto Q_0=(1,3,7) em s, a equação ponto-normal:
(-1,-1,-2)\cdot\bigl((x,y,z)-Q_0\bigr)=0.
Isto é:
-(x-1)-(y-3)-2(z-7)=0.
Multiplicando por -1 para simplificar:
x+y+2z-18=0.
Logo
\pi_{2}:\\ x+y+2z=18.
Resposta
(a) r e s são retas reversas (não paralelas e não se intersectam).
(b) Distância \;2\sqrt{6}. Ângulo (agudo) \;\displaystyle \theta=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{3}{\sqrt{15}}\right)\approx 0{,}6847\\ \text{rad}\approx 39{,}23^\circ.
(c) \displaystyle \pi_{1}:\\ x+y+2z=6.
(d) \displaystyle \pi_{2}:\\ x+y+2z=18.