Exercício 6. (duas retas reversas) Considere as retas:
\begin{aligned} & r:(x, y, z)=(-1,-1,4)+t(1,1,-1), t \in \mathbb{R} \\\ & s:(x, y, z)=(1,3,7)+k(-2,0,1), k \in \mathbb{R} \end{aligned}
a) Mostre que r e s são retas reversas.
b) Calcule a distância e o ângulo entre r e s.
c) Determine o plano \pi_{1} que contém r e é paralelo a s.
d) Determine o plano \pi_{2} que contém s e é paralelo a r.

Passo 1

O enunciado dá duas retas no espaço com as representações paramétricas:
r: (x,y,z)=(-1,-1,4)+t(1,1,-1),\\ t\in\mathbb{R}, \qquad s: (x,y,z)=(1,3,7)+k(-2,0,1),\\ k\in\mathbb{R}.
Vou listar claramente o que é pedido e os dados que temos:
  • Vetores diretores: \mathbf{v}_r=(1,1,-1),\qquad \mathbf{v}_s=(-2,0,1).
  • Pontos dados em cada reta (pegos da paramétrica com parâmetro zero): P_0=(-1,-1,4)\\ \text{em } r,\qquad Q_0=(1,3,7)\\ \text{em } s.
Perguntas do enunciado:
(a) Mostrar que r e s são retas reversas (ou seja, não são paralelas e não se intersectam).
(b) Calcular a distância entre r e s e o ângulo entre elas.
(c) Determinar o plano \pi_{1} que contém r e é paralelo a s.
(d) Determinar o plano \pi_{2} que contém s e é paralelo a r.

Passo 2

Mostrar que as retas não são paralelas: duas retas são paralelas se e somente se seus vetores diretores são múltiplos escalares. Verifico se existe \lambda tal que
\mathbf{v}_r=\lambda \mathbf{v}_s.
Comparando componentes temos o sistema
1=\lambda(-2),\quad 1=\lambda(0),\quad -1=\lambda(1).
Da segunda equação obtemos 1=0\cdot\lambda, o que é impossível. Logo não existe \lambda e as direções não são colineares; portanto as retas não são paralelas.

Passo 3

Mostrar que as retas não se intersectam: montar o sistema obtido igualando coordenadas quando r e s eventualmente se encontrassem. Para algum t,k deve haver
-1+t = 1-2k,\quad -1+t = 3+0\cdot k,\quad 4 - t = 7 + k.
Da segunda equação segue imediatamente
t=4.
Substituindo t=4 na primeira equação:
-1+4 = 1-2k \quad\Rightarrow\quad 3 = 1-2k \quad\Rightarrow\quad 2k = -2 \quad\Rightarrow\quad k=-1.
Agora verificar a terceira equação com t=4 e k=-1:
4 - t = 4-4 = 0, \qquad 7 + k = 7-1 = 6,
temos 0 \neq 6. Há inconsistência: não existe par (t,k) que satisfaça as três igualdades. Portanto as retas não se intersectam. Conclusão das partes (a): as retas não são paralelas e não se intersectam, portanto são retas reversas.

Passo 4

Cálculo do ângulo entre as retas: o ângulo entre duas retas é o ângulo entre seus vetores diretores. A fórmula usa o produto escalar:
\cos\theta = \frac{\mathbf{v}_r\cdot\mathbf{v}_s}{\|\mathbf{v}_r\|\\ \|\mathbf{v}_s\|}.
Calculo dos elementos:
\mathbf{v}_r\cdot\mathbf{v}_s = (1,1,-1)\cdot(-2,0,1) = -2 + 0 -1 = -3.
Normas:
\|\mathbf{v}_r\|=\sqrt{1^2+1^2+(-1)^2}=\sqrt{3},\qquad \|\mathbf{v}_s\|=\sqrt{(-2)^2+0^2+1^2}=\sqrt{5}.
Portanto
\cos\theta = \frac{-3}{\sqrt{3}\sqrt{5}} = -\frac{3}{\sqrt{15}}.
Como geralmente tomamos o ângulo entre retas como o ângulo agudo entre direções, usamos o valor absoluto no cosseno:
\cos\theta_{\text{agudo}}=\frac{3}{\sqrt{15}}.
Assim uma expressão exata para o ângulo é
\theta = \operatorname{arccos}\!\left(\frac{3}{\sqrt{15}}\right).
Para referência numérica:
\theta \approx 0{,}6847\\ \text{rad}\approx 39{,}23^\circ.

Passo 5

Cálculo da distância entre retas reversas: a menor distância entre duas retas reversas é dada pela componente de \overrightarrow{P_0Q_0} na direção perpendicular comum, que pode ser escrita com produto misto. Fórmula prática:
\text{dist}(r,s)=\frac{\left|(\overrightarrow{P_0Q_0})\cdot(\mathbf{v}_r\times\mathbf{v}_s)\right|}{\|\mathbf{v}_r\times\mathbf{v}_s\|},
onde \overrightarrow{P_0Q_0}=Q_0-P_0. Vou calcular passo a passo.
Primeiro \overrightarrow{P_0Q_0}:
\overrightarrow{P_0Q_0}=(1-(-1),\\\ 3-(-1),\\\ 7-4)=(2,4,3).
Produto vetorial \mathbf{v}_r\times\mathbf{v}_s:
\mathbf{v}_r\times\mathbf{v}_s= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 1 & 1 & -1 \\\\ -2 & 0 & 1 \end{vmatrix} =(1\cdot1 - (-1)\cdot0)\,\mathbf{i} - (1\cdot1 - (-1)(-2))\,\mathbf{j} + (1\cdot0 - 1\cdot(-2))\,\mathbf{k}.
Calculando:
\mathbf{v}_r\times\mathbf{v}_s=(1)\mathbf{i} - (1-2)\mathbf{j} + (0+2)\mathbf{k}=(1,1,2).
Produto escalar no numerador:
(\overrightarrow{P_0Q_0})\cdot(\mathbf{v}_r\times\mathbf{v}_s)=(2,4,3)\cdot(1,1,2)=2+4+6=12.
Norma do produto vetorial:
\|\mathbf{v}_r\times\mathbf{v}_s\|=\sqrt{1^2+1^2+2^2}=\sqrt{6}.
Portanto a distância:
\text{dist}(r,s)=\frac{|12|}{\sqrt{6}}=\frac{12}{\sqrt{6}}=2\sqrt{6}.
(operacão de racionalizar não é necessária, mas mostra que a forma simples é 2\sqrt{6}.)

Passo 6

Determinar o plano \pi_{1} que contém r e é paralelo a s:
Raciocínio: um plano que contém a reta r e é paralelo à reta s deve conter a direção de r e também a direção de s. Logo um vetor normal ao plano é o produto vetorial \mathbf{n}_1=\mathbf{v}_r\times\mathbf{v}_s, que já calculei e é (1,1,2). Tomando o ponto P_0=(-1,-1,4) pertencente a r, a equação do plano em forma ponto-normal é
\mathbf{n}_1\cdot\bigl((x,y,z)-P_0\bigr)=0.
Em termos explícitos:
(1,1,2)\cdot(x+1,\\ y+1,\\ z-4)=0.
Isso dá:
(x+1)+(y+1)+2(z-4)=0.
Simplificando:
x+y+2z-6=0.
Logo
\pi_{1}:\\ x+y+2z=6.

Passo 7

Determinar o plano \pi_{2} que contém s e é paralelo a r:
Raciocínio análogo: o plano deve conter a direção de s e também ser paralelo à direção de r; logo um vetor normal é \mathbf{n}_2=\mathbf{v}_s\times\mathbf{v}_r. Note que \mathbf{v}_s\times\mathbf{v}_r = -(\mathbf{v}_r\times\mathbf{v}_s)=(-1,-1,-2). Tomando o ponto Q_0=(1,3,7) em s, a equação ponto-normal:
(-1,-1,-2)\cdot\bigl((x,y,z)-Q_0\bigr)=0.
Isto é:
-(x-1)-(y-3)-2(z-7)=0.
Multiplicando por -1 para simplificar:
x+y+2z-18=0.
Logo
\pi_{2}:\\ x+y+2z=18.

Resposta

(a) r e s são retas reversas (não paralelas e não se intersectam).
(b) Distância \;2\sqrt{6}. Ângulo (agudo) \;\displaystyle \theta=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{3}{\sqrt{15}}\right)\approx 0{,}6847\\ \text{rad}\approx 39{,}23^\circ.
(c) \displaystyle \pi_{1}:\\ x+y+2z=6.
(d) \displaystyle \pi_{2}:\\ x+y+2z=18.

Exercícios relacionados