Exercício 8. (reta paralela a um plano) Considere o plano \pi e a reta r com as respectivas equações:
\begin{aligned} & \pi: x-y+z=1 \\\ & r:(x, y, z)=(0,3,1)+t(2,-1,-3), t \in \mathbb{R} \end{aligned}
a) Mostre que a reta r é paralela ao plano \pi.
b) Ache o plano que contém r e é paralelo a \pi.
c) Calcule a distância entre r e \pi.

Passo 1

O enunciado dá o plano \pi e a reta r abaixo e pede três coisas:
\pi: x-y+z=1
r:(x,y,z)=(0,3,1)+t(2,-1,-3),\\ t\in\mathbb{R}
Perguntas:
(a) Mostrar que a reta r é paralela ao plano \pi.
(b) Encontrar o plano que contém r e é paralelo a \pi.
(c) Calcular a distância entre r e \pi.
Informações relevantes dadas:
  • Um ponto da reta r é P_0=(0,3,1).
  • O vetor diretor de r é \vec{v}=(2,-1,-3) (pego da equação paramétrica de r).
  • O plano \pi tem equação x-y+z=1; o vetor normal a \pi é \vec{n}=(1,-1,1) (extraído dos coeficientes da equação do plano).

Passo 2

Condição para uma reta ser paralela a um plano (explicação):
  • Um plano é totalmente determinado por um vetor normal \vec{n}.
  • Uma reta é paralela a esse plano quando o vetor diretor da reta é ortogonal ao vetor normal do plano.
  • Em linguagem vetorial, a reta é paralela ao plano se \vec{v}\cdot\vec{n}=0.
    Aqui, \vec{v}=(2,-1,-3) e \vec{n}=(1,-1,1). Calculo o produto escalar:
\vec{v}\cdot\vec{n}=(2)(1)+(-1)(-1)+(-3)(1)=2+1-3=0.
Como o produto escalar é 0, \vec{v} é ortogonal a \vec{n}, logo a reta r é paralela ao plano \pi.
Comentário adicional (para a prova): se a reta estivesse dentro do plano, além da ortogonalidade valeria que um ponto da reta satisfaz a equação do plano. Aqui verifico o ponto P_0=(0,3,1) em \pi:
0-3+1=-2\neq1,
portanto r não está contida em \pi; é uma reta estritamente paralela ao plano.

Passo 3

Achar o plano que contém r e é paralelo a \pi (ideia e procedimento):
  • Dois planos paralelos têm vetores normais paralelos; podemos escolher o mesmo vetor normal \vec{n}=(1,-1,1) para o plano buscado.
  • A equação geral de um plano com esse normal é x-y+z=d, onde d é constante a determinar.
  • Como o plano deve conter a reta r, ele deve conter o ponto P_0=(0,3,1). Substituo P_0 para achar d:
0-3+1=d \quad\Rightarrow\quad d=-2.
Portanto o plano procurado é
\pi': x-y+z=-2.
Verificação (bom hábito para a prova): mostro que todo ponto de r satisfaz \pi'. Um ponto genérico de r é (2t,\,3-t,\,1-3t). Substituindo:
2t-(3-t)+(1-3t)=2t-3+t+1-3t=0t-2=-2,
que é exatamente o lado direito; logo toda a reta r está contida em \pi'.

Passo 4

Fórmula e ideia para calcular a distância entre uma reta paralela a um plano e o próprio plano:
  • Se uma reta é paralela a um plano, a distância entre eles é igual à distância de qualquer ponto da reta ao plano (porque todos os pontos da reta têm a mesma distância ao plano).
  • A distância de um ponto Q=(x_0,y_0,z_0) ao plano Ax+By+Cz=D é dada por:
\text{dist}=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0-D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.
Explicação da fórmula (rápida): o numerador é o valor da forma linear aplicada ao ponto menos o termo do plano; geometricamente é a componente ao longo do vetor normal; dividir pelo comprimento do vetor normal \sqrt{A^2+B^2+C^2} dá a projeção (comprimento) perpendicular mínima — ou seja, a distância.

Passo 5

Aplicação numérica da fórmula (escolhendo o ponto P_0=(0,3,1) da reta r e o plano \pi: x-y+z=1 com A=1,B=-1,C=1,D=1):
Calculo o numerador:
A x_0 + B y_0 + C z_0 - D = 1\cdot 0 + (-1)\cdot 3 + 1\cdot 1 - 1 = 0-3+1-1=-3.
Valor absoluto é |-3|=3. Denominador:
\sqrt{A^2+B^2+C^2}=\sqrt{1^2+(-1)^2+1^2}=\sqrt{1+1+1}=\sqrt{3}.
Portanto a distância é
\text{dist}=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}.

Passo 6

Resumo final das respostas (sem desenvolvimento adicional):

Resposta

(a) A reta r é paralela ao plano \pi.
(b) O plano que contém r e é paralelo a \pi é \;x-y+z=-2.
(c) A distância entre r e \pi é \;\sqrt{3}.

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