Exercício 8. (reta paralela a um plano) Considere o plano
e a reta
com as respectivas equações:
a) Mostre que a reta
é paralela ao plano
.
b) Ache o plano que contém
e é paralelo a
.
c) Calcule a distância entre
e
.
b) Ache o plano que contém
c) Calcule a distância entre
Passo 1
O enunciado dá o plano
e a reta
abaixo e pede três coisas:
Perguntas:
(a) Mostrar que a reta é paralela ao plano
.
(b) Encontrar o plano que contém e é paralelo a
.
(c) Calcular a distância entre e
.
(a) Mostrar que a reta
(b) Encontrar o plano que contém
(c) Calcular a distância entre
Informações relevantes dadas:
- Um ponto da reta
é . - O vetor diretor de
é (pego da equação paramétrica de ). - O plano
tem equação ; o vetor normal a é (extraído dos coeficientes da equação do plano).
Passo 2
Condição para uma reta ser paralela a um plano (explicação):
- Um plano é totalmente determinado por um vetor normal
. - Uma reta é paralela a esse plano quando o vetor diretor da reta é ortogonal ao vetor normal do plano.
- Em linguagem vetorial, a reta é paralela ao plano se
.
Aqui,e . Calculo o produto escalar:
Como o produto escalar é
,
é ortogonal a
, logo a reta
é paralela ao plano
.
Comentário adicional (para a prova): se a reta estivesse dentro do plano, além da ortogonalidade valeria que um ponto da reta satisfaz a equação do plano. Aqui verifico o ponto
em
:
portanto
não está contida em
; é uma reta estritamente paralela ao plano.
Passo 3
Achar o plano que contém
e é paralelo a
(ideia e procedimento):
- Dois planos paralelos têm vetores normais paralelos; podemos escolher o mesmo vetor normal
para o plano buscado. - A equação geral de um plano com esse normal é
, onde é constante a determinar. - Como o plano deve conter a reta
, ele deve conter o ponto . Substituo para achar :
Portanto o plano procurado é
Verificação (bom hábito para a prova): mostro que todo ponto de
satisfaz
. Um ponto genérico de
é
. Substituindo:
que é exatamente o lado direito; logo toda a reta
está contida em
.
Passo 4
Fórmula e ideia para calcular a distância entre uma reta paralela a um plano e o próprio plano:
- Se uma reta é paralela a um plano, a distância entre eles é igual à distância de qualquer ponto da reta ao plano (porque todos os pontos da reta têm a mesma distância ao plano).
- A distância de um ponto
ao plano é dada por:
Explicação da fórmula (rápida): o numerador é o valor da forma linear aplicada ao ponto menos o termo do plano; geometricamente é a componente ao longo do vetor normal; dividir pelo comprimento do vetor normal
dá a projeção (comprimento) perpendicular mínima — ou seja, a distância.
Passo 5
Aplicação numérica da fórmula (escolhendo o ponto
da reta
e o plano
com
):
Calculo o numerador:
Calculo o numerador:
Valor absoluto é
. Denominador:
Portanto a distância é
Passo 6
Resumo final das respostas (sem desenvolvimento adicional):
Resposta
(a) A reta
é paralela ao plano
.
(b) O plano que contém e é paralelo a
é
(c) A distância entre e
é
(b) O plano que contém
(c) A distância entre