Exercício 3 (Rotação e Classificação). Classifique a cônica dada e determine sua equação canônica (reduzida) após uma rotação de eixos (se necessário) e uma translação.
5 x^{2}-6 x y+5 y^{2}-8 \sqrt{2} x+8 \sqrt{2} y+8=0

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Classificar a cônica dada.
  • Encontrar a sua equação canônica (reduzida) após, se necessário, uma rotação de eixos e uma translação.
As informações fornecidas (coeficientes da cônica) são:
5x^{2}-6xy+5y^{2}-8\sqrt{2}\,x+8\sqrt{2}\,y+8=0.
Vou anotar os coeficientes padrão da forma geral Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0:
A=5,\qquad B=-6,\qquad C=5,\qquad D=-8\sqrt{2},\qquad E=8\sqrt{2},\qquad F=8.

Passo 2

Primeiro objetivo técnico: eliminar o termo misto xy se necessário, fazendo uma rotação de eixos. Uma fórmula padrão (explicarei a ideia) para o ângulo \theta da rotação que elimina o termo xy é
\tan(2\theta)=\frac{B}{A-C}.
Aqui A-C=5-5=0, portanto a fórmula diz que \tan(2\theta) é infinita quando B\neq0, ou seja 2\theta=\pm\frac{\pi}{2} e então
\theta=\pm\frac{\pi}{4}.
Isso significa que uma rotação de \pm45^\circ diagonaliza a parte quadrática. Vou escolher
\theta=-\frac{\pi}{4},
mas \theta=+\frac{\pi}{4} daria resultado equivalente (apenas trocando os eixos principais).
Breve explicação/intuíço: quando A=C a matriz da forma quadrática tem simetria que faz os autovetores orientar-se a \pm45^\circ; por isso a rotação de 45^\circ elimina o termo xy.

Passo 3

Escrever a mudança de coordenadas por rotação (notação: x',y' são as coordenadas no novo sistema rotacionado):
x = x'\cos\theta - y'\sin\theta,\qquad y = x'\sin\theta + y'\cos\theta.
Para \theta=-\dfrac{\pi}{4} temos \cos\theta=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, \sin\theta=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}. Assim
x=\frac{\sqrt{2}}{2}\,(x'+y'),\qquad y=\frac{\sqrt{2}}{2}\,(y'-x').
Agora expresso x^{2},y^{2},xy em x',y'. Definindo u=x' e v=y' para facilitar:
x^{2}=\frac{1}{2}(u+v)^{2}=\frac{1}{2}(u^{2}+2uv+v^{2}),
y^{2}=\frac{1}{2}(v-u)^{2}=\frac{1}{2}(u^{2}-2uv+v^{2}),
xy=\frac{1}{2}(v^{2}-u^{2})=\frac{1}{2}(-u^{2}+v^{2}).

Passo 4

Substituo os termos quadráticos na forma original:
5x^{2}-6xy+5y^{2} =5\cdot\frac{1}{2}(u^{2}+2uv+v^{2}) -6\cdot\frac{1}{2}(-u^{2}+v^{2}) +5\cdot\frac{1}{2}(u^{2}-2uv+v^{2}).
Calculo termo a termo (agrupar coeficientes de u^{2}, uv, v^{2}):
  • Soma dos dois termos com coeficiente 5: como há +2uv e -2uv eles se cancelam, resultando em 5(u^{2}+v^{2}).
  • O termo -6xy -6\cdot\frac{1}{2}(-u^{2}+v^{2})=3u^{2}-3v^{2}.
    Portanto
5x^{2}-6xy+5y^{2}=5(u^{2}+v^{2})+(3u^{2}-3v^{2})=8u^{2}+2v^{2}.
Agora os termos lineares: usando x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}(u+v) e y=\dfrac{\sqrt{2}}{2}(v-u),
-8\sqrt{2}\,x = -8\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}(u+v)=-8(u+v),
8\sqrt{2}\,y = 8\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}(v-u)=8(v-u).
Somando os dois lineares:
-8(u+v)+8(v-u) = -16u.
Ou seja, após rotação só aparece termo linear em u=x': -16x'.
O termo constante é +8. Assim a equação em coordenadas rotacionadas (x',y') fica
8x'^{2}+2y'^{2}-16x'+8=0.

Passo 5

Simplifico dividindo por 2 para facilitar a translação:
4x'^{2}+y'^{2}-8x'+4=0.
Agora completo quadrado para remover o termo linear em x'. Agrupo os termos em x':
4\bigl(x'^{2}-2x'\bigr)+y'^{2}+4=0.
Completar o quadrado: x'^{2}-2x'=(x'-1)^{2}-1. Substituindo:
4\bigl((x'-1)^{2}-1\bigr)+y'^{2}+4=0
4(x'-1)^{2}-4+y'^{2}+4=0
4(x'-1)^{2}+y'^{2}=0.

Passo 6

Interpretação da equação final:
4(x'-1)^{2}+y'^{2}=0.
Soma de quadrados não-negativos igual a zero implica que ambos os quadrados são zero simultaneamente, ou seja
x'-1=0,\qquad y'=0.
Logo a cônica é degenerada: trata-se de um ponto (um caso degenerado de elipse cujo “tamanho” colapsou). Informações adicionais úteis:
  • A parte quadrática tinha autovalores 8 e 2 (positivos), indicando que a forma quadrática é definida positiva — portanto a cônica seria, em geral, uma elipse; mas o termo constante e os termos lineares produziram a degeneração a um único ponto.
  • Centro no sistema rotacionado: (x',y')=(1,0).
Agora volto ao sistema original (x,y) para dar a posição do ponto único (o “centro” da elipse degenerada). Usando a rotação inversa (ou a fórmula direta já usada):
x=\frac{\sqrt{2}}{2}(x'+y'),\qquad y=\frac{\sqrt{2}}{2}(y'-x').
Para (x',y')=(1,0) obtemos
x=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot(1+0)=\frac{\sqrt{2}}{2},\qquad y=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot(0-1)=-\frac{\sqrt{2}}{2}.
Verificação rápida (substituindo na equação original) confirma que esse ponto satisfaz a equação.

Resposta

Cônica: elipse degenerada (ponto).\n
Equação canônica (após rotação \theta=-\dfrac{\pi}{4} e translação X=x'-1,\;Y=y'): 4X^{2}+Y^{2}=0.\n
Centro (ponto único) em coordenadas originais: \displaystyle\left(\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}\right).

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