Exercício 3 (Rotação e Classificação). Classifique a cônica dada e determine sua equação canônica (reduzida) após uma rotação de eixos (se necessário) e uma translação.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Classificar a cônica dada.
- Encontrar a sua equação canônica (reduzida) após, se necessário, uma rotação de eixos e uma translação.
As informações fornecidas (coeficientes da cônica) são:
Vou anotar os coeficientes padrão da forma geral
:
Passo 2
Primeiro objetivo técnico: eliminar o termo misto
se necessário, fazendo uma rotação de eixos. Uma fórmula padrão (explicarei a ideia) para o ângulo
da rotação que elimina o termo
é
Aqui
, portanto a fórmula diz que
é infinita quando
, ou seja
e então
Isso significa que uma rotação de
diagonaliza a parte quadrática. Vou escolher
mas
daria resultado equivalente (apenas trocando os eixos principais).
Breve explicação/intuíço: quando
a matriz da forma quadrática tem simetria que faz os autovetores orientar-se a
; por isso a rotação de
elimina o termo
.
Passo 3
Escrever a mudança de coordenadas por rotação (notação:
são as coordenadas no novo sistema rotacionado):
Para
temos
,
. Assim
Agora expresso
em
. Definindo
e
para facilitar:
Passo 4
Substituo os termos quadráticos na forma original:
Calculo termo a termo (agrupar coeficientes de
,
,
):
- Soma dos dois termos com coeficiente
: como há e eles se cancelam, resultando em . - O termo
dá .
Portanto
Agora os termos lineares: usando
e
,
Somando os dois lineares:
Ou seja, após rotação só aparece termo linear em
:
.
O termo constante é
. Assim a equação em coordenadas rotacionadas
fica
Passo 5
Simplifico dividindo por
para facilitar a translação:
Agora completo quadrado para remover o termo linear em
. Agrupo os termos em
:
Completar o quadrado:
. Substituindo:
Passo 6
Interpretação da equação final:
Soma de quadrados não-negativos igual a zero implica que ambos os quadrados são zero simultaneamente, ou seja
Logo a cônica é degenerada: trata-se de um ponto (um caso degenerado de elipse cujo “tamanho” colapsou). Informações adicionais úteis:
- A parte quadrática tinha autovalores
e (positivos), indicando que a forma quadrática é definida positiva — portanto a cônica seria, em geral, uma elipse; mas o termo constante e os termos lineares produziram a degeneração a um único ponto. - Centro no sistema rotacionado:
.
Agora volto ao sistema original
para dar a posição do ponto único (o “centro” da elipse degenerada). Usando a rotação inversa (ou a fórmula direta já usada):
Para
obtemos
Verificação rápida (substituindo na equação original) confirma que esse ponto satisfaz a equação.
Resposta
Cônica: elipse degenerada (ponto).\n
Equação canônica (após rotação
e translação
):
\n
Centro (ponto único) em coordenadas originais:
.