Seja
um espaço vetorial sobre
com produto interno e
. Expanda as expressões dadas.
Passo 1
O enunciado pede para expandir a expressão da norma
.
Informações dadas que vou usar:
Informações dadas que vou usar:
-
é um espaço vetorial sobre equipado com um produto interno (ou seja, existe um produto interno definido em ). -
.
O objetivo imediato é escrever a norma pedida de forma expandida usando o produto interno e as propriedades dele.
Passo 2
Lembrete das definições e propriedades que vou usar (pequena “aula”):
- A norma associada ao produto interno é definida por
para qualquer . Isso significa que, para expandir uma norma, é natural primeiro calcular o quadrado da norma e depois tirar raiz quadrada. - O produto interno em espaços reais satisfaz:
- bilinearidade (distributividade):
e ; - fatoração de escalares:
para ; - simetria:
.
Essas propriedades permitem expandirde forma mecânica.
- bilinearidade (distributividade):
Passo 3
Calcular o quadrado da norma:
Agora aplico a distributividade do produto interno (expandindo como se fosse um produto escalar):
Usando a propriedade de fatoração de escalares
, cada termo fica:
Como o produto interno é simétrico (
), os dois termos intermédios somam:
Portanto
Passo 4
Volto à norma (tirando raiz quadrada). Pela definição da norma:
Observações úteis (para a prova):
- A expressão dentro da raiz é sempre não negativa, porque é
. - Se for conveniente usar o ângulo entre os vetores, pode-se escrever
, obtendo a forma alternativa
Passo 5
Checagens rápidas para ganhar confiança:
- Se
e são ortogonais ( ), então . - Se
, a fórmula dá , e de fato tem norma .