Seja V um espaço vetorial sobre \mathbb{R} com produto interno e u_{1}, u_{2}, v_{1}, v_{2} \in V. Expanda as expressões dadas.
\left\|2 u_{1}-3 u_{2}\right\|

Passo 1

O enunciado pede para expandir a expressão da norma \left\|2u_{1}-3u_{2}\right\|.
Informações dadas que vou usar:
  • V é um espaço vetorial sobre \mathbb{R} equipado com um produto interno (ou seja, existe um produto interno \langle\cdot,\cdot\rangle definido em V).
  • u_{1},u_{2}\in V.
    O objetivo imediato é escrever a norma pedida de forma expandida usando o produto interno e as propriedades dele.

Passo 2

Lembrete das definições e propriedades que vou usar (pequena “aula”):
  • A norma associada ao produto interno é definida por \|v\|=\sqrt{\langle v,v\rangle} para qualquer v\in V. Isso significa que, para expandir uma norma, é natural primeiro calcular o quadrado da norma e depois tirar raiz quadrada.
  • O produto interno em espaços reais satisfaz:
    • bilinearidade (distributividade): \langle x+y,z\rangle=\langle x,z\rangle+\langle y,z\rangle e \langle x,y+z\rangle=\langle x,y\rangle+\langle x,z\rangle;
    • fatoração de escalares: \langle a x, b y\rangle = a b \langle x,y\rangle para a,b\in\mathbb{R};
    • simetria: \langle x,y\rangle=\langle y,x\rangle.
      Essas propriedades permitem expandir \langle 2u_{1}-3u_{2},\,2u_{1}-3u_{2}\rangle de forma mecânica.

Passo 3

Calcular o quadrado da norma:
\left\|2u_{1}-3u_{2}\right\|^{2}=\big\langle 2u_{1}-3u_{2},\,2u_{1}-3u_{2}\big\rangle.
Agora aplico a distributividade do produto interno (expandindo como se fosse um produto escalar):
\begin{aligned} \big\langle 2u_{1}-3u_{2},\,2u_{1}-3u_{2}\big\rangle &=\big\langle 2u_{1},2u_{1}\big\rangle+\big\langle 2u_{1},-3u_{2}\big\rangle+\big\langle -3u_{2},2u_{1}\big\rangle+\big\langle -3u_{2},-3u_{2}\big\rangle. \end{aligned}
Usando a propriedade de fatoração de escalares \langle a x,b y\rangle = a b \langle x,y\rangle, cada termo fica:
\begin{aligned} \big\langle 2u_{1},2u_{1}\big\rangle &= 4\big\langle u_{1},u_{1}\big\rangle = 4\|u_{1}\|^{2},\\[4pt] \big\langle 2u_{1},-3u_{2}\big\rangle &= -6\big\langle u_{1},u_{2}\big\rangle,\\[4pt] \big\langle -3u_{2},2u_{1}\big\rangle &= -6\big\langle u_{2},u_{1}\big\rangle,\\[4pt] \big\langle -3u_{2},-3u_{2}\big\rangle &= 9\big\langle u_{2},u_{2}\big\rangle = 9\|u_{2}\|^{2}. \end{aligned}
Como o produto interno é simétrico ( \langle u_{2},u_{1}\rangle=\langle u_{1},u_{2}\rangle), os dois termos intermédios somam:
-6\langle u_{1},u_{2}\rangle-6\langle u_{2},u_{1}\rangle=-12\langle u_{1},u_{2}\rangle.
Portanto
\left\|2u_{1}-3u_{2}\right\|^{2}=4\|u_{1}\|^{2}+9\|u_{2}\|^{2}-12\langle u_{1},u_{2}\rangle.]

Passo 4

Volto à norma (tirando raiz quadrada). Pela definição da norma:
\left\|2u_{1}-3u_{2}\right\| =\sqrt{\,4\|u_{1}\|^{2}+9\|u_{2}\|^{2}-12\langle u_{1},u_{2}\rangle\,}.
Observações úteis (para a prova):
  • A expressão dentro da raiz é sempre não negativa, porque é \|2u_{1}-3u_{2}\|^{2}.
  • Se for conveniente usar o ângulo entre os vetores, pode-se escrever \langle u_{1},u_{2}\rangle=\|u_{1}\|\|u_{2}\|\cos\theta, obtendo a forma alternativa
\left\|2u_{1}-3u_{2}\right\| =\sqrt{\,4\|u_{1}\|^{2}+9\|u_{2}\|^{2}-12\|u_{1}\|\|u_{2}\|\cos\theta\,}.

Passo 5

Checagens rápidas para ganhar confiança:
  • Se u_{1} e u_{2} são ortogonais ( \langle u_{1},u_{2}\rangle=0), então \left\|2u_{1}-3u_{2}\right\|=\sqrt{4\|u_{1}\|^{2}+9\|u_{2}\|^{2}}.
  • Se u_{1}=u_{2}, a fórmula dá \sqrt{4\|u_{1}\|^{2}+9\|u_{1}\|^{2}-12\|u_{1}\|^{2}}=\sqrt{\|u_{1}\|^{2}}=\|u_{1}\|, e de fato 2u_{1}-3u_{1}=-u_{1} tem norma \|u_{1}\|.

Resposta

\displaystyle \left\|2u_{1}-3u_{2}\right\|=\sqrt{\,4\|u_{1}\|^{2}+9\|u_{2}\|^{2}-12\langle u_{1},u_{2}\rangle\,}

Exercícios relacionados