\overrightarrow{A B} e \overrightarrow{C B} são vetores usuais entre pares de pontos.
A incógnita é o vetor \vec{x}.
A equação envolve soma de vetores e multiplicação por um escalar (o símbolo \cdot entre C e \overrightarrow{C B} indica multiplicação escalar por C).
(O que resta: isolar \vec{x}.)
Passo 2
Regra básica de álgebra vetorial que vamos usar: podemos somar/subtrair vetores termo a termo e isolar incógnitas exatamente como em álgebra normal. Assim, para isolar \vec{x} subtraímos 1+\overrightarrow{A B} dos dois lados da equação. Aplicando isso obtemos diretamente
Explicação didática: a soma de vetores é comutativa e associativa, e a subtração é a soma do oposto. Subtrair o mesmo vetor dos dois lados preserva a igualdade, então esta operação é válida.
Passo 3
Agora vamos escrever \overrightarrow{A B} e \overrightarrow{C B} em termos dos vetores posição \vec{A},\vec{B},\vec{C} (vetores do origem até cada ponto). A definição padrão é:
Breve aula: isso vem da ideia "vetor do ponto P ao ponto Q = posição de Q menos posição de P". É uma relação útil porque transforma vetores entre pontos em combinações lineares de vetores posição.
Passo 4
Substituindo essas expressões em \vec{x} (obtida no passo 2) temos
Agora vou desenvolver termo a termo para deixar tudo explícito e mostrar como simplificar passo a passo.
Passo 5
Expandindo os parênteses e recolhendo termos iguais:
\vec{x}=C\vec{B}-C\vec{C}-1-\vec{B}+\vec{A}.
Agrupando os termos que envolvem \vec{B}:
\vec{x}=(C-1)\vec{B}-C\vec{C}+\vec{A}-1.
Comentário interpretativo: esta é a forma totalmente expandida da solução. Se o símbolo 1 do enunciado representa, de fato, um vetor (por exemplo um vetor fixo \vec{u}), então naquele passo deve-se escrever -\vec{u} em vez de -1. Se 1 for realmente um escalar que aparece somado a um vetor, isso pressupõe que no enunciado o 1 foi usado para representar um vetor (por exemplo o vetor unitário) — a manipulação algébrica acima permanece, trocando 1 por \vec{1} quando apropriado.
Passo 6
Resumo prático para a prova (passo a passo curto que pode decorar):
Isolar \vec{x} por subtração: \vec{x}=C\cdot\overrightarrow{C B}-1-\overrightarrow{A B}.
Usar \overrightarrow{A B}=\vec{B}-\vec{A} e \overrightarrow{C B}=\vec{B}-\vec{C} quando for conveniente para escrever em termos dos vetores posição.
Expandir e agrupar termos para obter a forma final.