Dados os pontos A, B e C distintos, determine “x” tal que (1+\overrightarrow{A B})+\vec{x}=C \cdot \overrightarrow{C B}

Passo 1

O enunciado dá três pontos distintos A, B e C e pede para determinar o vetor \vec{x} que satisfaz a equação
(1+\overrightarrow{A B})+\vec{x}=C \cdot \overrightarrow{C B}.
Informações relevantes listadas:
  • Os pontos A,B,C são dados (distintos).
  • \overrightarrow{A B} e \overrightarrow{C B} são vetores usuais entre pares de pontos.
  • A incógnita é o vetor \vec{x}.
  • A equação envolve soma de vetores e multiplicação por um escalar (o símbolo \cdot entre C e \overrightarrow{C B} indica multiplicação escalar por C).
    (O que resta: isolar \vec{x}.)

Passo 2

Regra básica de álgebra vetorial que vamos usar: podemos somar/subtrair vetores termo a termo e isolar incógnitas exatamente como em álgebra normal. Assim, para isolar \vec{x} subtraímos 1+\overrightarrow{A B} dos dois lados da equação. Aplicando isso obtemos diretamente
\vec{x}=C\cdot\overrightarrow{C B}-1-\overrightarrow{A B}.
Explicação didática: a soma de vetores é comutativa e associativa, e a subtração é a soma do oposto. Subtrair o mesmo vetor dos dois lados preserva a igualdade, então esta operação é válida.

Passo 3

Agora vamos escrever \overrightarrow{A B} e \overrightarrow{C B} em termos dos vetores posição \vec{A},\vec{B},\vec{C} (vetores do origem até cada ponto). A definição padrão é:
\overrightarrow{A B}=\vec{B}-\vec{A},\qquad \overrightarrow{C B}=\vec{B}-\vec{C}.
Breve aula: isso vem da ideia "vetor do ponto P ao ponto Q = posição de Q menos posição de P". É uma relação útil porque transforma vetores entre pontos em combinações lineares de vetores posição.

Passo 4

Substituindo essas expressões em \vec{x} (obtida no passo 2) temos
\vec{x}=C\cdot(\vec{B}-\vec{C})-1-(\vec{B}-\vec{A}).
Agora vou desenvolver termo a termo para deixar tudo explícito e mostrar como simplificar passo a passo.

Passo 5

Expandindo os parênteses e recolhendo termos iguais:
\vec{x}=C\vec{B}-C\vec{C}-1-\vec{B}+\vec{A}.
Agrupando os termos que envolvem \vec{B}:
\vec{x}=(C-1)\vec{B}-C\vec{C}+\vec{A}-1.
Comentário interpretativo: esta é a forma totalmente expandida da solução. Se o símbolo 1 do enunciado representa, de fato, um vetor (por exemplo um vetor fixo \vec{u}), então naquele passo deve-se escrever -\vec{u} em vez de -1. Se 1 for realmente um escalar que aparece somado a um vetor, isso pressupõe que no enunciado o 1 foi usado para representar um vetor (por exemplo o vetor unitário) — a manipulação algébrica acima permanece, trocando 1 por \vec{1} quando apropriado.

Passo 6

Resumo prático para a prova (passo a passo curto que pode decorar):
  • Isolar \vec{x} por subtração: \vec{x}=C\cdot\overrightarrow{C B}-1-\overrightarrow{A B}.
  • Usar \overrightarrow{A B}=\vec{B}-\vec{A} e \overrightarrow{C B}=\vec{B}-\vec{C} quando for conveniente para escrever em termos dos vetores posição.
  • Expandir e agrupar termos para obter a forma final.

Resposta

\displaystyle \vec{x}=C\cdot\overrightarrow{C B}-1-\overrightarrow{A B}=\;C(\vec{B}-\vec{C})-1-(\vec{B}-\vec{A})

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