Exercício 3 (Rotação e Classificação). Classifique a cônica dada e determine sua equação canônica (reduzida) após uma rotação de eixos (se necessário) e uma translação.
11 x^{2}+24 x y+4 y^{2}-20 x-40 y=5
Passo 1
O enunciado dá a cônica
11x^{2}+24xy+4y^{2}-20x-40y=5
Informações fornecidas (peguei tudo do enunciado):
Coeficientes quadráticos e misto: A=11, B=24, C=4.
Coeficientes lineares: D=-20 (do termo em x), E=-40 (do termo em y).
Termo constante (colocado no lado esquerdo): F=-5 porque a equação original pode ser escrita como 11x^{2}+24xy+4y^{2}-20x-40y-5=0.
O que o problema pede:
Classificar a cônica (parábola, elipse, hipérbole, degenerações).
Determinar a sua equação canônica reduzida, realizando rotação de eixos (se necessário) e translação (para eliminar termos mistos e lineares).
Passo 2
Estratégia e ideia principal (explicação didática, sem pular etapas):
O termo em xy (coeficiente B\neq0) indica que os eixos principais da cônica estão rotacionados em relação aos eixos x,y. Para eliminá-lo fazemos uma rotação ortogonal que diagonaliza a forma quadrática.
Matematicamente, escrevemos a parte quadrática como um formulário matricial [x\\ y]\,M\,[x\\ y]^T com
onde apareceu 12 porque o termo misto 24xy corresponde a 2\cdot 12.
Diagonalizamos M encontrando seus autovalores \lambda e autovetores; os sinais dos autovalores dizem se a forma é definida, semidefinida ou indefinida (hipérbole quando os autovalores têm sinais opostos).
Após rotação, transformamos também os termos lineares pelo mesmo ortogonal e completamos quadrados para efetuar a translação (ou seja, deslocar o centro para a origem na nova base).
Vou aplicar isso passo a passo computando autovalores, autovetores, a rotação, a transformação dos termos lineares e a conclusão.]
Passo 3
Cálculo dos autovalores de M. Resolver o polinômio característico \det(M-\lambda I)=0:
Interpretação imediata: os autovalores têm sinais opostos (20>0 e -5<0). Isso significa que a forma quadrática é indefinida, portanto a cônica é uma hipérbole (explicação conceitual: autovalores de sinais opostos => soma de termos quadráticos com sinais distintos após diagonalização => hipérbole).]
Passo 4
Encontrar autovetores (vai indicar a direção dos novos eixos). Para \lambda_1=20:
Da primeira linha -9u+12v=0 obtém-se v=\dfrac{9}{12}u=\dfrac{3}{4}u. Um autovetor associado é (4,3). O comprimento desse vetor é \sqrt{4^{2}+3^{2}}=5, então o vetor unitário correspondente é
ou seja \theta=\arctan\!\left(\dfrac{3}{4}\right). (Verificação rápida: \tan(2\theta)=\dfrac{24}{7}, consistente com a fórmula \tan 2\theta=\dfrac{B}{A-C}.)]
Passo 5
Aplicar a rotação às coordenadas. Definindo as coordenadas rotacionadas (X,Y) por
onde \tfrac{1}{4}=a^{2} e 1=b^{2}. A centro da hipérbole, na base rotacionada, é (X,Y)=(1,-2). Em coordenadas originais (x,y) esse centro corresponde a (x_{0},y_{0}) obtido por (x_{0},y_{0})^T=R(1,-2)^T; se quiser:
Então o centro na coordenada original é (x_{0},y_{0})=(2,-1) — informação útil na interpretação geométrica.]
Passo 8
Resumo interpretativo (rápido, para fixar):
A cônica é uma hipérbole porque a matriz quadrática tem autovalores de sinais opostos (20 e -5).
Após rotacionar os eixos por \theta=\arctan\!\left(\dfrac{3}{4}\right) (fórmula explícita abaixo) e transladar para o centro (X,Y)=(1,-2), a equação reduzida é 4(X-1)^{2}-(Y+2)^{2}=1.
Transformações explícitas entre coordenadas:
X=\frac{4x+3y}{5},\qquad Y=\frac{-3x+4y}{5}.
A translação final para a forma centrada é u=X-1,\\ v=Y+2, resultando em \dfrac{u^{2}}{1/4}-\dfrac{v^{2}}{1}=1.