Exercício 4 (Casos Degenerados). Utilize o discriminante e o \Delta_{3}=\operatorname{det} M (invariante cúbico) para classificar as seguintes equações, indicando se representam cônicas não-degeneradas (elipse, hipérbole, parábola) ou degeneradas (retas, ponto, vazio).
x^{2}+y^{2}+4 x-6 y+13=0
Passo 1
O enunciado dá a equação
x^{2}+y^{2}+4x-6y+13=0
e pede para classificá-la como cônica não-degenerada (elipse, hipérbole, parábola) ou degenerada (retas, ponto, vazio).
Informações relevantes extraídas do enunciado (vou listar os coeficientes para facilitar):
O enunciado instruía a usar o discriminante \Delta=B^{2}-4AC e \Delta_{3}=\det M (o invariante cúbico), então vou calcular esses dois valores e interpretá-los.
Passo 2
Definição e significado do discriminante para cônicas:
Para a cônica geral Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0, define-se o discriminante
\Delta=B^{2}-4AC.
Interpretação prática (resumo útil na prova):
Se \Delta>0 a cônica é da família de hipérboles (ou degenerada em retas reais).
Se \Delta=0 a cônica tende a ser parábola (ou degenerada).
Se \Delta<0 a cônica é do tipo elíptico (elipse/círculo) ou degenerada em ponto/vazio.
Agora calculo \Delta com os coeficientes dados:
\Delta = B^{2}-4AC = 0^{2}-4\cdot1\cdot1 = -4.
Resultado: \Delta = -4 < 0. Isso já indica que a família é a das elipses (incluindo casos degenerados como ponto ou vazio). Para decidir se é degenerada preciso verificar \Delta_{3}.
Passo 3
Definição e construção de M e de \Delta_{3}:
A matriz simétrica associada à forma quadrática aumentada é
M=\begin{pmatrix} A & \tfrac{B}{2} & \tfrac{D}{2}\\[4pt] \tfrac{B}{2} & C & \tfrac{E}{2}\\[4pt] \tfrac{D}{2} & \tfrac{E}{2} & F \end{pmatrix}.
O invariante cúbico é \Delta_{3}=\det M. Se \Delta_{3}\neq0 e \Delta<0 então é uma elipse não-degenerada; se \Delta_{3}=0 com \Delta<0 então é uma elipse degenerada (ponto ou vazia).
Agora monto M com nossos coeficientes:
Encontramos \Delta=-4<0 e \Delta_{3}=0. Isso indica que estamos na família elíptica mas a cônica é degenerada. Então não é uma elipse real não-degenerada; resta decidir se ela é degenerada para um ponto isolado, ou é vazia (sem pontos reais), ou eventualmente um par de retas complexas. A forma mais prática e segura em prova é completar quadrados para ver explicitamente o conjunto de pontos reais.
Passo 6
Completar quadrados para identificar a geometria real da equação. Parto da equação original:
Para números reais, (x+2)^{2}\ge0 e (y-3)^{2}\ge0. A soma deles só pode ser 0 se e somente se cada quadrado for 0. Logo as únicas soluções reais são
x+2=0,\quad y-3=0,
ou seja o ponto (x,y)=(-2,3).
Assim a cônica é degenerada e representa exatamente um ponto isolado.
Dica rápida de prova: se ao completar quadrados chegássemos a (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=k com k>0 seria uma elipse/círculo não-degenerado; se k=0 é um ponto; se k<0 não há solução real (conjunto vazio).