O que se pede: determinar o valor de x que torna essa igualdade verdadeira.
Informações relevantes dadas:
A matriz cujo expoente aparece tem entradas conhecidas, exceto uma entrada x na posição (3,2).
O expoente é 2024, um número par e grande.
A matriz do lado direito é completamente conhecida.
Passo 2
Estratégia (por que escolhi este caminho): como o expoente é par (2024), uma ideia natural e simples é calcular a quadrado da matriz à esquerda, \,A^2, onde
e verificar se \,A^2 coincide com a matriz do lado direito. Se conseguirmos que \,A^2=B (onde B é a matriz à direita), então
A^{2024}=(A^2)^{1012}=B^{1012}.
Para que a igualdade original seja atendida precisamos ainda que B^{1012}=B. Isso ocorre automaticamente se B for idempotente (B^2=B), porque então B^{1012}=B. Portanto o plano é:
Calcular A^2 em função de x.
Igualar A^2 a B e encontrar x.
Verificar que, com esse x, B^2=B (garantindo B^{1012}=B), concluindo que A^{2024}=B.
Passo 3
Lembrete rápido sobre multiplicação de matrizes (aula curtinha): se C=AB com matrizes 3\times3, então cada elemento de C é dado por
c_{ij}=\sum_{k=1}^{3} a_{ik}\,b_{kj}.
Vou usar isso para calcular A^2= A\cdot A. Escrevo A denotando suas linhas:
Todas as equações dão o mesmo valor x=-10. Assim, se x=-10 então A^2=B (as todas as entradas coincidem).
Passo 6
Verificação da condição adicional sobre B: precisamos que B^{1012}=B. Uma situação que garante isso é B^2=B (então B^n=B para todo n\ge1). Vou checar B^2. Faço rapidamente os produtos (mostrando apenas o resultado verificado):
calculando B^2 obtém-se