Exercício 8. Sabe-se que para algum número real x a seguinte igualdade é verdadeira. Determine o valor de x.
\left[\begin{array}{rrr} -1 & 2 & -2 \\\\ 1 & -6 & 4 \\\\ 2 & x & 7 \end{array}\right]^{2024}=\left[\begin{array}{rrr} -1 & 6 & -4 \\\\ 1 & -2 & 2 \\\\ 2 & -6 & 5 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes quadradas 3\times3 e diz que para algum número real x vale a igualdade
\left[\begin{array}{rrr} -1 & 2 & -2 \\\\ 1 & -6 & 4 \\\\ 2 & x & 7 \end{array}\right]^{2024}= \left[\begin{array}{rrr} -1 & 6 & -4 \\\\ 1 & -2 & 2 \\\\ 2 & -6 & 5 \end{array}\right].
O que se pede: determinar o valor de x que torna essa igualdade verdadeira.
Informações relevantes dadas:
  • A matriz cujo expoente aparece tem entradas conhecidas, exceto uma entrada x na posição (3,2).
  • O expoente é 2024, um número par e grande.
  • A matriz do lado direito é completamente conhecida.

Passo 2

Estratégia (por que escolhi este caminho): como o expoente é par ( 2024), uma ideia natural e simples é calcular a quadrado da matriz à esquerda, \,A^2, onde
A=\left[\begin{array}{rrr} -1 & 2 & -2 \\\\ 1 & -6 & 4 \\\\ 2 & x & 7 \end{array}\right],
e verificar se \,A^2 coincide com a matriz do lado direito. Se conseguirmos que \,A^2=B (onde B é a matriz à direita), então
A^{2024}=(A^2)^{1012}=B^{1012}.
Para que a igualdade original seja atendida precisamos ainda que B^{1012}=B. Isso ocorre automaticamente se B for idempotente ( B^2=B), porque então B^{1012}=B. Portanto o plano é:
  1. Calcular A^2 em função de x.
  2. Igualar A^2 a B e encontrar x.
  3. Verificar que, com esse x, B^2=B (garantindo B^{1012}=B), concluindo que A^{2024}=B.

Passo 3

Lembrete rápido sobre multiplicação de matrizes (aula curtinha): se C=AB com matrizes 3\times3, então cada elemento de C é dado por
c_{ij}=\sum_{k=1}^{3} a_{ik}\,b_{kj}.
Vou usar isso para calcular A^2= A\cdot A. Escrevo A denotando suas linhas:
A=\begin{pmatrix} -1 & 2 & -2\\[2pt] 1 & -6 & 4\\[2pt] 2 & x & 7 \end{pmatrix}.
Agora calculo cada entrada de A^2 por produto de linhas por colunas.]

Passo 4

Cálculo explícito de A^2 (cada componente):
  • Elemento (1,1):
(-1)(-1)+2\cdot 1+(-2)\cdot 2 = 1+2-4 = -1.
  • Elemento (1,2):
(-1)\cdot 2 + 2\cdot(-6) + (-2)\cdot x = -2 -12 -2x = -14 -2x.
  • Elemento (1,3):
(-1)(-2) + 2\cdot 4 + (-2)\cdot 7 = 2+8-14 = -4.
  • Elemento (2,1):
1\cdot(-1) + (-6)\cdot 1 + 4\cdot 2 = -1-6+8 = 1.
  • Elemento (2,2):
1\cdot 2 + (-6)(-6) + 4\cdot x = 2 +36 +4x = 38 +4x.
  • Elemento (2,3):
1\cdot(-2) + (-6)\cdot 4 + 4\cdot 7 = -2 -24 +28 = 2.
  • Elemento (3,1):
2\cdot(-1) + x\cdot 1 + 7\cdot 2 = -2 + x +14 = x + 12.
  • Elemento (3,2):
2\cdot 2 + x\cdot(-6) + 7\cdot x = 4 -6x +7x = 4 + x.
  • Elemento (3,3):
2\cdot(-2) + x\cdot 4 + 7\cdot 7 = -4 +4x +49 = 45 +4x.
Portanto
A^2= \left[\begin{array}{rrr} -1 & -14 -2x & -4 \\\\ 1 & 38 +4x & 2 \\\ x+12 & 4 + x & 45 +4x \end{array}\right].

Passo 5

Agora imponho A^2=B, com
B=\left[\begin{array}{rrr} -1 & 6 & -4 \\\\ 1 & -2 & 2 \\\\ 2 & -6 & 5 \end{array}\right].
Igualando as entradas correspondentes obtenho um sistema de equações simples para x. Vou comparar algumas posições que já dão equações:
  • Da posição (1,2):
-14 - 2x = 6 \quad\Rightarrow\quad -2x = 20 \quad\Rightarrow\quad x = -10.
  • Checo outras posições para garantir consistência:
    • (2,2): 38 + 4x = -2 \Rightarrow 4x = -40 \Rightarrow x = -10.
    • (3,1): x + 12 = 2 \Rightarrow x = -10.
    • (3,2): 4 + x = -6 \Rightarrow x = -10.
    • (3,3): 45 + 4x = 5 \Rightarrow 4x = -40 \Rightarrow x = -10.
Todas as equações dão o mesmo valor x=-10. Assim, se x=-10 então A^2=B (as todas as entradas coincidem).

Passo 6

Verificação da condição adicional sobre B: precisamos que B^{1012}=B. Uma situação que garante isso é B^2=B (então B^n=B para todo n\ge1). Vou checar B^2. Faço rapidamente os produtos (mostrando apenas o resultado verificado):
calculando B^2 obtém-se
B^2= \left[\begin{array}{rrr} -1 & 6 & -4 \\\\ 1 & -2 & 2 \\\\ 2 & -6 & 5 \end{array}\right]=B.
Portanto B^2=B, ou seja, B é idempotente. Logo para qualquer inteiro k\ge1 vale B^k=B, em particular B^{1012}=B.
Agora uso tudo junto:
A^{2024} = (A^2)^{1012} = B^{1012} = B.
Portanto com x=-10 a igualdade do enunciado é satisfeita.

Resposta

-10

Exercícios relacionados