Exercício 4. Utilizando o desenvolvimento em cofatores por uma linha ou por uma coluna, calcule novamente os determinantes das duas matrizes do exercício anterior.

Passo 1

O enunciado pede: calcular novamente os determinantes das duas matrizes do exercício anterior, usando desenvolvimento em cofatores por uma linha ou por uma coluna.
Informação relevante fornecida no enunciado: referência a “duas matrizes do exercício anterior”.
Informação faltando e que impede resolver diretamente: as duas matrizes do exercício anterior não foram enviadas junto com esta questão, portanto não é possível calcular os determinantes específicos pedidos sem esses dados.

Passo 2

Antes de dizer por que não dá para calcular as matrizes que faltam, vou ensinar com calma e passo a passo o método de desenvolvimento em cofatores — assim você consegue aplicar esse procedimento na prova a qualquer matriz que aparecer. Começo definindo termos importantes:
  • Para uma matriz quadrada A=(a_{ij}) de ordem n, o menor (ou minor) associado à entrada a_{ij} é a matriz obtida ao eliminar a linha i e a coluna j de A. Denota-se esse menor por M_{ij}.
  • O cofator correspondente a a_{ij} é C_{ij}=(-1)^{i+j}\det\! \big(M_{ij}\big). Aqui (-1)^{i+j} é só um sinal que pode ser +1 ou -1 dependendo de i+j.
  • A fórmula de desenvolvimento por cofatores ao longo da linha i é:
\det(A)=\sum_{j=1}^{n} a_{ij}\,C_{ij}.
  • A fórmula de desenvolvimento por cofatores ao longo da coluna j é:
\det(A)=\sum_{i=1}^{n} a_{ij}\,C_{ij}.
Nessas somas, cada termo é um elemento da linha (ou coluna) multiplicado pelo seu cofator. Explicar o que cada variável representa: a_{ij} é o elemento na linha i e coluna j da matriz A; M_{ij} é a submatriz que sobra quando se tira a linha i e coluna j; C_{ij} é o cofator que combina o sinal (-1)^{i+j} com o determinante de M_{ij}.

Passo 3

Dicas práticas (úteis na prova) antes de calcular:
  • Sempre escolha para expandir uma linha ou coluna que contenha zeros, assim você reduz muito o número de termos a calcular.
  • Se não houver zeros óbvios, escolha a linha/coluna com números pequenos (para simplificar a aritmética).
  • Para matrizes 3\times3, muitas vezes usar a regra de Sarrus é mais rápido; ainda assim, saber fazer cofatores é obrigatório e funciona para qualquer n.
  • Para calcular o determinante de um menor 3\times3 use a fórmula explícita (regra de Sarrus) ou aplique cofatores novamente (eu mostro agora exemplos completos).

Passo 4

Exemplo 1 (matriz 3\times3). Vou mostrar o cálculo passo a passo, como você faria na prova.
Considere a matriz
A=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 1\\[4pt] 3 & -1 & 4\\[4pt] 0 & 2 & 5 \end{pmatrix}.
Escolho expandir pela primeira linha porque ela tem um zero (isso reduz trabalho). Aplicando
\det(A)=a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+a_{13}C_{13},
onde cada C_{1j}=(-1)^{1+j}\det(M_{1j}).
Calculemos termo a termo:
  • a_{11}=2. O menor M_{11} é a matriz que sobra eliminando linha 1 e coluna 1:
M_{11}=\begin{pmatrix}-1 & 4\\[4pt] 2 & 5\end{pmatrix}.
Seu determinante é \det(M_{11}) = (-1)\cdot 5 - 4\cdot 2 = -5 - 8 = -13. O cofator é
C_{11}=(-1)^{1+1}\det(M_{11}) = (+1)\cdot(-13) = -13.
Portanto o primeiro termo é a_{11}C_{11}=2\cdot(-13)=-26.
  • a_{12}=0. Já sabemos que a_{12}C_{12}=0, então pulo o cálculo do menor correspondente — por isso escolher uma linha com zero é ótimo.
  • a_{13}=1. O menor M_{13} (eliminando linha 1 e coluna 3) é
M_{13}=\begin{pmatrix}3 & -1\\[4pt] 0 & 2\end{pmatrix}.
Seu determinante é \det(M_{13})=3\cdot2 - (-1)\cdot 0 = 6. O cofator é
C_{13}=(-1)^{1+3}\det(M_{13}) = (+1)\cdot 6 = 6.
O terceiro termo é a_{13}C_{13}=1\cdot 6 = 6.
Somando os termos:
\det(A) = -26 + 0 + 6 = -20.
Conclusão do exemplo 1: \det(A)=-20. Eu mostrei cada menor e cofactor explicitamente; na prova faça da mesma forma, mostrando os determinantes dos 2\times2 usados.]

Passo 5

Exemplo 2 (matriz 4\times4). Mostro um caso prático de expansão por coluna com muitos zeros.
Considere
B=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 3\\[4pt] 0 & -1 & 4 & 2\\[4pt] 5 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 2 & 3 & 0 & -1 \end{pmatrix}.
A coluna 3 tem dois zeros (nas linhas 1 e 4), então convém expandir por ela:
\det(B)=\sum_{i=1}^{4} a_{i3}C_{i3}.
a_{23} e a_{33} são não nulos, então só precisamos desses dois termos.
Termo com a_{23}=4 (linha 2, coluna 3):
  • O menor M_{23} é a 3\times3 obtida eliminando linha 2 e coluna 3:
M_{23}=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\[4pt] 5 & 0 & 0\\[4pt] 2 & 3 & -1 \end{pmatrix},
onde as colunas restantes são as 1,2 e 4 da matriz B. Calcule \det(M_{23}) usando expansão ou a regra de Sarrus:
Faço por desenvolvimento na primeira linha (apenas para mostrar):
\det(M_{23})=1\cdot\det\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 3 & -1\end{pmatrix} -2\cdot\det\begin{pmatrix}5 & 0\\[4pt] 2 & -1\end{pmatrix} +3\cdot\det\begin{pmatrix}5 & 0\\[4pt] 2 & 3\end{pmatrix}.
Calculemos cada 2\times2:
\det\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 3 & -1\end{pmatrix}=0\cdot(-1)-0\cdot 3=0,
\det\begin{pmatrix}5 & 0\\[4pt] 2 & -1\end{pmatrix}=5\cdot(-1)-0\cdot 2=-5,
\det\begin{pmatrix}5 & 0\\[4pt] 2 & 3\end{pmatrix}=5\cdot 3 - 0\cdot 2 =15.
Logo
\det(M_{23}) = 1\cdot 0 - 2\cdot(-5) + 3\cdot 15 = 0 + 10 + 45 = 55.
O cofator é C_{23}=(-1)^{2+3}\det(M_{23}) = (-1)\cdot 55 = -55. Contribuição ao determinante de B: a_{23}C_{23}=4\cdot(-55)=-220.
Termo com a_{33}=1 (linha 3, coluna 3):
  • O menor M_{33} é
M_{33}=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\[4pt] 0 & -1 & 2\\[4pt] 2 & 3 & -1 \end{pmatrix}.
Calcule \det(M_{33}) (faço pelo desenvolvimento na primeira linha):
\det(M_{33})=1\cdot\det\begin{pmatrix}-1 & 2\\[4pt] 3 & -1\end{pmatrix} -2\cdot\det\begin{pmatrix}0 & 2\\[4pt] 2 & -1\end{pmatrix} +3\cdot\det\begin{pmatrix}0 & -1\\[4pt] 2 & 3\end{pmatrix}.
Calcule os 2\times2:
\det\begin{pmatrix}-1 & 2\\[4pt] 3 & -1\end{pmatrix}=(-1)\cdot(-1)-2\cdot 3 = 1 - 6 = -5,
\det\begin{pmatrix}0 & 2\\[4pt] 2 & -1\end{pmatrix}=0\cdot(-1)-2\cdot 2 = -4,
\det\begin{pmatrix}0 & -1\\[4pt] 2 & 3\end{pmatrix}=0\cdot 3 - (-1)\cdot 2 = 2.
Então
\det(M_{33}) = 1\cdot(-5) - 2\cdot(-4) + 3\cdot 2 = -5 + 8 + 6 = 9.
O cofator é C_{33}=(-1)^{3+3}\det(M_{33})=+1\cdot 9 = 9. Contribuição: a_{33}C_{33}=1\cdot 9 = 9.
Somando as contribuições da coluna 3:
\det(B) = -220 + 9 = -211.
Conclusão do exemplo 2: \det(B)=-211. Note como a escolha da coluna com vários zeros poupou bastante trabalho.]

Passo 6

Resumo do método para levar pra prova (resumindo como um checklist mental):
  • Identifique uma linha ou coluna com mais zeros — expanda por ela.
  • Para cada elemento não nulo a_{ij} nessa linha/coluna: escreva o menor M_{ij}, calcule \det(M_{ij}) (se for 2\times2 calcule direto; se for maior, aplique cofatores recursivamente) e multiplique por a_{ij} e pelo sinal (-1)^{i+j}.
  • Some todos os termos. Mostre os cálculos dos menores principais (na prova, pelo menos os 2\times2 ou os determinantes finais), para ficar claro e por segurança na correção.
  • Seja organizado: alinhe cada menor e seu cálculo; se errar, é mais fácil revisar.

Passo 7

Voltando ao enunciado original: como as duas matrizes do exercício anterior não foram fornecidas neste enunciado, não há como calcular aqui, de forma correta e verificável, os determinantes pedidos. Se você colar as matrizes (mesmo que em texto), eu aplico exatamente esse mesmo procedimento passo a passo sobre elas e mostro todos os menores e cofatores.

Resposta

Não é possível calcular: as duas matrizes do exercício anterior não foram fornecidas neste enunciado.

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