Exercício 4. Utilizando o desenvolvimento em cofatores por uma linha ou por uma coluna, calcule novamente os determinantes das duas matrizes do exercício anterior.
Passo 1
O enunciado pede: calcular novamente os determinantes das duas matrizes do exercício anterior, usando desenvolvimento em cofatores por uma linha ou por uma coluna.
Informação relevante fornecida no enunciado: referência a “duas matrizes do exercício anterior”.
Informação faltando e que impede resolver diretamente: as duas matrizes do exercício anterior não foram enviadas junto com esta questão, portanto não é possível calcular os determinantes específicos pedidos sem esses dados.
Passo 2
Antes de dizer por que não dá para calcular as matrizes que faltam, vou ensinar com calma e passo a passo o método de desenvolvimento em cofatores — assim você consegue aplicar esse procedimento na prova a qualquer matriz que aparecer. Começo definindo termos importantes:
Para uma matriz quadrada A=(a_{ij}) de ordem n, o menor (ou minor) associado à entrada a_{ij} é a matriz obtida ao eliminar a linha i e a coluna j de A. Denota-se esse menor por M_{ij}.
O cofator correspondente a a_{ij} é C_{ij}=(-1)^{i+j}\det\! \big(M_{ij}\big). Aqui (-1)^{i+j} é só um sinal que pode ser +1 ou -1 dependendo de i+j.
A fórmula de desenvolvimento por cofatores ao longo da linha i é:
\det(A)=\sum_{j=1}^{n} a_{ij}\,C_{ij}.
A fórmula de desenvolvimento por cofatores ao longo da coluna j é:
\det(A)=\sum_{i=1}^{n} a_{ij}\,C_{ij}.
Nessas somas, cada termo é um elemento da linha (ou coluna) multiplicado pelo seu cofator. Explicar o que cada variável representa: a_{ij} é o elemento na linha i e coluna j da matriz A; M_{ij} é a submatriz que sobra quando se tira a linha i e coluna j; C_{ij} é o cofator que combina o sinal (-1)^{i+j} com o determinante de M_{ij}.
Passo 3
Dicas práticas (úteis na prova) antes de calcular:
Sempre escolha para expandir uma linha ou coluna que contenha zeros, assim você reduz muito o número de termos a calcular.
Se não houver zeros óbvios, escolha a linha/coluna com números pequenos (para simplificar a aritmética).
Para matrizes 3\times3, muitas vezes usar a regra de Sarrus é mais rápido; ainda assim, saber fazer cofatores é obrigatório e funciona para qualquer n.
Para calcular o determinante de um menor 3\times3 use a fórmula explícita (regra de Sarrus) ou aplique cofatores novamente (eu mostro agora exemplos completos).
Passo 4
Exemplo 1 (matriz 3\times3). Vou mostrar o cálculo passo a passo, como você faria na prova.
Seu determinante é \det(M_{13})=3\cdot2 - (-1)\cdot 0 = 6. O cofator é
C_{13}=(-1)^{1+3}\det(M_{13}) = (+1)\cdot 6 = 6.
O terceiro termo é a_{13}C_{13}=1\cdot 6 = 6.
Somando os termos:
\det(A) = -26 + 0 + 6 = -20.
Conclusão do exemplo 1: \det(A)=-20. Eu mostrei cada menor e cofactor explicitamente; na prova faça da mesma forma, mostrando os determinantes dos 2\times2 usados.]
Passo 5
Exemplo 2 (matriz 4\times4). Mostro um caso prático de expansão por coluna com muitos zeros.
onde as colunas restantes são as 1,2 e 4 da matriz B. Calcule \det(M_{23}) usando expansão ou a regra de Sarrus:
Faço por desenvolvimento na primeira linha (apenas para mostrar):
O cofator é C_{33}=(-1)^{3+3}\det(M_{33})=+1\cdot 9 = 9. Contribuição: a_{33}C_{33}=1\cdot 9 = 9.
Somando as contribuições da coluna 3:
\det(B) = -220 + 9 = -211.
Conclusão do exemplo 2: \det(B)=-211. Note como a escolha da coluna com vários zeros poupou bastante trabalho.]
Passo 6
Resumo do método para levar pra prova (resumindo como um checklist mental):
Identifique uma linha ou coluna com mais zeros — expanda por ela.
Para cada elemento não nulo a_{ij} nessa linha/coluna: escreva o menor M_{ij}, calcule \det(M_{ij}) (se for 2\times2 calcule direto; se for maior, aplique cofatores recursivamente) e multiplique por a_{ij} e pelo sinal (-1)^{i+j}.
Some todos os termos. Mostre os cálculos dos menores principais (na prova, pelo menos os 2\times2 ou os determinantes finais), para ficar claro e por segurança na correção.
Seja organizado: alinhe cada menor e seu cálculo; se errar, é mais fácil revisar.
Passo 7
Voltando ao enunciado original: como as duas matrizes do exercício anterior não foram fornecidas neste enunciado, não há como calcular aqui, de forma correta e verificável, os determinantes pedidos. Se você colar as matrizes (mesmo que em texto), eu aplico exatamente esse mesmo procedimento passo a passo sobre elas e mostro todos os menores e cofatores.
Resposta
Não é possível calcular: as duas matrizes do exercício anterior não foram fornecidas neste enunciado.