Exercício 6 - Sabe-se que um artigo de produção está sob controle se seu peso estiver dentro da faixa \bar{X}-0,97 \frac{S}{\sqrt{n}} e \bar{X}+0,97 \frac{S}{\sqrt{n}}, para \bar{X} sendo média amostral, S o desvio-padrão da amostra e n o tamanho da amostra. Sete artigos da produção foram selecionados para verificação do controle da produção quanto à variável peso. Desta amostra foram anotados os seguintes pesos ( Kg ): 8,46,4 9,8 \quad 8,2 \quad 7,4 \quad 9,1 \quad 5,3.
Quais os limites de controle para os dados acima?

Passo 1

Vou listar exatamente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados amostrais (sete pesos, em kg) retirados do enunciado: 8,4,\;6,4,\;9,8,\;8,2,\;7,4,\;9,1,\;5,3.
  • Tamanho da amostra: n=7.
  • A regra de controle fornece os limites como
\bar{X}\pm 0,97\frac{S}{\sqrt{n}},
onde \bar{X} é a média amostral e S é o desvio-padrão da amostra.
O que o enunciado pede: calcular os limites de controle para esses dados.

Passo 2

Calcular a média amostral \bar{X}.
  • Definição: \displaystyle \bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i. Aqui somamos os sete valores e dividimos por 7.
  • Soma dos dados:
8,4+6,4+9,8+8,2+7,4+9,1+5,3=54,6.
  • Logo
\bar{X}=\frac{54,6}{7}=7,8.
Interpretação: a média amostral dos pesos é \bar{X}=7,8\\ \text{kg}.

Passo 3

Calcular o desvio-padrão amostral S.
  • Fórmula do desvio-padrão amostral (usada em controle de qualidade):
S=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{X})^2}.
Explicação curta: usa-se n-1 (correção de Bessel) para obter uma estimativa não tendenciosa da variância da população a partir da amostra. Aqui vamos aplicar diretamente a fórmula e mostrar cada passo.

Passo 4

Calcular as diferenças em relação à média, seus quadrados e a soma dos quadrados.
  • Diferenças x_i-\bar{X} e quadrados:
    • 8,4-7,8=0,6, (0,6)^2=0,36.
    • 6,4-7,8=-1,4, (-1,4)^2=1,96.
    • 9,8-7,8=2,0, (2,0)^2=4,00.
    • 8,2-7,8=0,4, (0,4)^2=0,16.
    • 7,4-7,8=-0,4, (-0,4)^2=0,16.
    • 9,1-7,8=1,3, (1,3)^2=1,69.
    • 5,3-7,8=-2,5, (-2,5)^2=6,25.
  • Soma dos quadrados:
0,36+1,96+4,00+0,16+0,16+1,69+6,25=14,58.

Passo 5

Continuar o cálculo de S.
  • Variância amostral:
S^2=\frac{14,58}{n-1}=\frac{14,58}{6}=2,43.
  • Desvio-padrão amostral:
S=\sqrt{2,43}\approx 1,5588\\ \text{kg}.
(Dar o valor exato em radical seria \sqrt{2,43}, mas aqui usamos a aproximação para os cálculos numéricos seguintes.)

Passo 6

Calcular o erro padrão \dfrac{S}{\sqrt{n}} e o termo multiplicador 0,97\frac{S}{\sqrt{n}}.
  • \sqrt{n}=\sqrt{7}\approx 2,6458.
  • Erro padrão:
\frac{S}{\sqrt{n}}\approx \frac{1,5588}{2,6458}\approx 0,5892.
  • Margem usada nos limites:
0,97\frac{S}{\sqrt{n}}\approx 0,97\times 0,5892\approx 0,5715.

Passo 7

Calcular os limites de controle finais \bar{X}\pm 0,97\frac{S}{\sqrt{n}}.
  • Limite inferior:
\bar{X}-0,97\frac{S}{\sqrt{n}}=7,8-0,5715\approx 7,2285\approx 7,23\\ \text{kg}.
  • Limite superior:
\bar{X}+0,97\frac{S}{\sqrt{n}}=7,8+0,5715\approx 8,3715\approx 8,37\\ \text{kg}.

Passo 8

Interpretação rápida e incentivo: qualquer peça com peso entre \,7,23\\ \text{kg} e \,8,37\\ \text{kg} está dentro do controle segundo a regra dada. Bom trabalho — já é muita coisa feita; se quiser, eu te mostro como checar se algum ponto individual fica fora ou mostrar esse cálculo num arquivo para salvar.

Resposta

\text{Limite inferior} = 7,23\\ \text{kg}
\text{Limite superior} = 8,37\\ \text{kg}

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