Exercício 6 - Sabe-se que um artigo de produção está sob controle se seu peso estiver dentro da faixa \bar{X}-0,97 \frac{S}{\sqrt{n}} e \bar{X}+0,97 \frac{S}{\sqrt{n}}, para \bar{X} sendo média amostral, S o desvio-padrão da amostra e n o tamanho da amostra. Sete artigos da produção foram selecionados para verificação do controle da produção quanto à variável peso. Desta amostra foram anotados os seguintes pesos ( Kg ): 8,46,4 9,8 \quad 8,2 \quad 7,4 \quad 9,1 \quad 5,3.
Quais os limites de controle para os dados acima?
Passo 1
Vou listar exatamente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados amostrais (sete pesos, em kg) retirados do enunciado: 8,4,\;6,4,\;9,8,\;8,2,\;7,4,\;9,1,\;5,3.
Tamanho da amostra: n=7.
A regra de controle fornece os limites como
\bar{X}\pm 0,97\frac{S}{\sqrt{n}},
onde \bar{X} é a média amostral e S é o desvio-padrão da amostra.
O que o enunciado pede: calcular os limites de controle para esses dados.
Passo 2
Calcular a média amostral \bar{X}.
Definição: \displaystyle \bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i. Aqui somamos os sete valores e dividimos por 7.
Soma dos dados:
8,4+6,4+9,8+8,2+7,4+9,1+5,3=54,6.
Logo
\bar{X}=\frac{54,6}{7}=7,8.
Interpretação: a média amostral dos pesos é \bar{X}=7,8\\ \text{kg}.
Passo 3
Calcular o desvio-padrão amostral S.
Fórmula do desvio-padrão amostral (usada em controle de qualidade):
Explicação curta: usa-se n-1 (correção de Bessel) para obter uma estimativa não tendenciosa da variância da população a partir da amostra. Aqui vamos aplicar diretamente a fórmula e mostrar cada passo.
Passo 4
Calcular as diferenças em relação à média, seus quadrados e a soma dos quadrados.
Diferenças x_i-\bar{X} e quadrados:
8,4-7,8=0,6, (0,6)^2=0,36.
6,4-7,8=-1,4, (-1,4)^2=1,96.
9,8-7,8=2,0, (2,0)^2=4,00.
8,2-7,8=0,4, (0,4)^2=0,16.
7,4-7,8=-0,4, (-0,4)^2=0,16.
9,1-7,8=1,3, (1,3)^2=1,69.
5,3-7,8=-2,5, (-2,5)^2=6,25.
Soma dos quadrados:
0,36+1,96+4,00+0,16+0,16+1,69+6,25=14,58.
Passo 5
Continuar o cálculo de S.
Variância amostral:
S^2=\frac{14,58}{n-1}=\frac{14,58}{6}=2,43.
Desvio-padrão amostral:
S=\sqrt{2,43}\approx 1,5588\\ \text{kg}.
(Dar o valor exato em radical seria \sqrt{2,43}, mas aqui usamos a aproximação para os cálculos numéricos seguintes.)
Passo 6
Calcular o erro padrão \dfrac{S}{\sqrt{n}} e o termo multiplicador 0,97\frac{S}{\sqrt{n}}.
Interpretação rápida e incentivo: qualquer peça com peso entre \,7,23\\ \text{kg} e \,8,37\\ \text{kg} está dentro do controle segundo a regra dada. Bom trabalho — já é muita coisa feita; se quiser, eu te mostro como checar se algum ponto individual fica fora ou mostrar esse cálculo num arquivo para salvar.