Uma diferença de potencial de 200 V é aplicada ao sistema constituído pela ligação em série de dois capacitores de, respectivamente, 2,0 \mu \mathrm{~F} e 8,0 \mu \mathrm{~F}. A) Qual a carga e a diferença de potencial de cada capacitor? B) Os dois capacitores carregados tem suas placas de mesma polaridade ligadas entre si, na ausência de qualquer diferença de potencial externa. Quais os novos valores das cargas e diferenças de potencial em cada um deles?

Passo 1

Entender claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
C_1 = 2{,}0\\ \mu\mathrm{F},\qquad C_2 = 8{,}0\\ \mu\mathrm{F},\qquad V_{\text{total}}=200\\ \mathrm{V}.
Perguntas:
A) Qual a carga e a diferença de potencial em cada capacitor quando estão ligados em série aos 200\\ \mathrm{V}?
B) Depois de carregados, as placas de mesma polaridade dos dois capacitores são ligadas entre si (isoladamente, sem fonte). Quais serão as novas cargas e diferenças de potencial em cada capacitor?

Passo 2

Conceito importante para a parte A (série): em capacitores ligados em série a mesma carga elétrica aparece em todos os capacitores. Ou seja, se a série foi carregada por uma fonte, o módulo da carga em cada capacitor é igual: |Q_1|=|Q_2|=Q.
Explicação curta: por conservação de carga no nó entre eles, a placa interna de um tem carga oposta e mesma magnitude da placa interna do outro, logo a magnitude da carga em cada capacitor é igual.
Para substituir dois capacitores em série por um equivalente usaremos a fórmula
C_{\text{eq}}=\frac{C_1C_2}{C_1+C_2}.
Isso é útil porque a carga total armazenada pela série é a carga do equivalente: Q=C_{\text{eq}}V_{\text{total}}.

Passo 3

Calcular C_{\text{eq}}. Usando os valores dados:
C_{\text{eq}}=\frac{2{,}0\\ \mu\mathrm{F}\times8{,}0\\ \mu\mathrm{F}}{2{,}0\\ \mu\mathrm{F}+8{,}0\\ \mu\mathrm{F}} =\frac{16{,}0\\ \mu\mathrm{F}^2}{10{,}0\\ \mu\mathrm{F}}=1{,}6\\ \mu\mathrm{F}.

Passo 4

Calcular a carga comum Q usando Q=C_{\text{eq}}V_{\text{total}}. Como estamos em \mu\mathrm{F} e V, o resultado vem em \mu\mathrm{C}:
Q=C_{\text{eq}}V_{\text{total}}=1{,}6\\ \mu\mathrm{F}\times200\\ \mathrm{V}=320\\ \mu\mathrm{C}.
Também podemos escrever Q=3{,}2\times10^{-4}\\ \mathrm{C}.

Passo 5

Agora calcular as diferenças de potencial em cada capacitor usando V_i=\dfrac{Q}{C_i}.
Para C_1:
V_1=\frac{Q}{C_1}=\frac{320\\ \mu\mathrm{C}}{2{,}0\\ \mu\mathrm{F}}=160\\ \mathrm{V}.
Para C_2:
V_2=\frac{Q}{C_2}=\frac{320\\ \mu\mathrm{C}}{8{,}0\\ \mu\mathrm{F}}=40\\ \mathrm{V}.
Verificação rápida: V_1+V_2=160+40=200\\ \mathrm{V}, que confere com a fonte.

Passo 6

Parte B – entender a situação física: depois de carregar os capacitores em série, desconecta-se a fonte e liga-se as placas de mesma polaridade entre si (positiva com positiva e negativa com negativa), formando um circuito isolado. Nesse processo não há caminho para a carga escapar ao ambiente, então a carga total em cada nó ligado é conservada.
Identificar as cargas iniciais nas placas que serão ligadas: em cada capacitor a placa positiva tinha carga +Q e a negativa -Q. Assim, ao juntar as duas placas positivas, a carga total desse nó é
Q_{\text{pos, total}}=+Q + (+Q)=+2Q.
Analogamente o nó das placas negativas fica com carga -2Q.

Passo 7

Depois de ligadas, os capacitores ficam em paralelo entre o nó positivo e o nó negativo, portanto terão a mesma diferença de potencial final V_f. As cargas finais serão
Q_1' = C_1 V_f,\qquad Q_2' = C_2 V_f.
Como a soma das cargas no nó positivo deve permanecer +2Q, temos
Q_1' + Q_2' = 2Q.
Substituindo Q_i'=C_i V_f,
(C_1+C_2)V_f=2Q \quad\Rightarrow\quad V_f=\frac{2Q}{C_1+C_2}.

Passo 8

Calcular numericamente V_f. Usando Q=320\\ \mu\mathrm{C} e C_1+C_2=2{,}0\\ \mu\mathrm{F}+8{,}0\\ \mu\mathrm{F}=10{,}0\\ \mu\mathrm{F}:
V_f=\frac{2\times320\\ \mu\mathrm{C}}{10{,}0\\ \mu\mathrm{F}}=\frac{640\\ \mu\mathrm{C}}{10{,}0\\ \mu\mathrm{F}}=64\\ \mathrm{V}.

Passo 9

Calcular as cargas finais em cada capacitor:
Q_1'=C_1 V_f=2{,}0\\ \mu\mathrm{F}\times64\\ \mathrm{V}=128\\ \mu\mathrm{C},
Q_2'=C_2 V_f=8{,}0\\ \mu\mathrm{F}\times64\\ \mathrm{V}=512\\ \mu\mathrm{C}.
As placas positivas ficam com cargas +128\\ \mu\mathrm{C} e +512\\ \mu\mathrm{C} respectivamente (soma +640\\ \mu\mathrm{C}=+2Q), e as placas negativas com os sinais opostos.

Resposta

A) Q_1=Q_2=320\\ \mu\mathrm{C};\quad V_1=160\\ \mathrm{V},\\ V_2=40\\ \mathrm{V}.
B) V_f=64\\ \mathrm{V};\quad Q_1'=128\\ \mu\mathrm{C},\\ Q_2'=512\\ \mu\mathrm{C}.

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