Exercício 1.2 Sabendo que lim _{n \rightarrow+\infty} a_{n}=0, use o o Teorema 1.2 para calcular
lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{\sin a_{n}}{a_{n}}

Passo 1

O enunciado dá que \lim_{n\to+\infty} a_{n}=0 e pede para calcular \lim_{n\to+\infty} \dfrac{\sin a_{n}}{a_{n}}.
Informações relevantes: (i) a sequência (a_n) converge para 0; (ii) a expressão a avaliar é \dfrac{\sin a_{n}}{a_{n}}.
Observação importante (para não nos perdermos depois): a expressão \dfrac{\sin a_{n}}{a_{n}} não está definida quando a_{n}=0; trataremos isso definindo convenientemente a função que usaremos (ver passos seguintes).

Passo 2

Estratégia (usando o Teorema 1.2): vamos usar o Teorema 1.2 (que diz, em palavras: se uma função f\) é contínua em \(L\) e \(\lim_{n\to\infty} a_n = L\), então \(\lim_{n\to\infty} f(a_n)=f(L)\)). Para aplicar esse teorema construímos a função \[f(x)=\begin{cases} \dfrac{\sin x}{x}, & x\neq 0,\\[6pt] 1, & x=0. \end{cases}
Mostraremos que f\] é contínua em \(0. Feito isso, aplicamos o Teorema 1.2 com L=0 e obtemos a resposta.]

Passo 3

Prova de que \displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1 (essa é a peça que garante a continuidade de f em 0). Vou usar um argumento clássico por desigualdades geométricas (caso x esteja em radianos).
Considere x tal que 0<x<\tfrac{\pi}{2}. Pelas desigualdades conhecidas de seno e tangente em um triângulo de círculo unitário vale
\sin x < x < \tan x.
Como \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}, a desigualdade x<\tan x é x<\dfrac{\sin x}{\cos x}, que ao multiplicar por \dfrac{\cos x}{x} (positivo nessa faixa) fornece
\cos x < \dfrac{\sin x}{x} < 1.
Agora, como \lim_{x\to 0}\cos x = 1 (continuidade da cosseno), pelo princípio do aperto (squeeze theorem) segue que
\lim_{x\to 0^+}\dfrac{\sin x}{x}=1.
Para x<0 usamos que \dfrac{\sin(-x)}{-x}=\dfrac{-\sin x}{-x}=\dfrac{\sin x}{x}, portanto a mesma conclusão vale para x\to 0^-. Assim
\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1.

Passo 4

Conclusão sobre continuidade: a igualdade \lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1 mostra que, se definimos f(0)=1, então \lim_{x\to 0} f(x)=f(0). Isso é exatamente a definição de continuidade em 0. Portanto f é contínua em 0.

Passo 5

Tratar o caso de termos a_n=0: se algum termo a_n for exatamente 0, a expressão \dfrac{\sin a_n}{a_n} estaria indefinida. A construção de f acima resolve isso: interpretamos o valor da sequência transformada por f como f(a_n). Se a_n=0 então f(a_n)=f(0)=1. Essa escolha é natural e compatível com o limite que buscamos.

Passo 6

Aplicação do Teorema 1.2: como \lim_{n\to\infty} a_n = 0 e f é contínua em 0, pelo Teorema 1.2 temos
\lim_{n\to\infty} f(a_n) = f(0).
Pelo passo anterior f(0)=1 e f(a_n)=\dfrac{\sin a_n}{a_n} quando a_n\neq 0 (e f(a_n)=1 quando a_n=0). Logo
\lim_{n\to\infty}\dfrac{\sin a_n}{a_n}=1.

Resposta

1

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