Exercício 1.2 Sabendo que
, use o o Teorema 1.2 para calcular
Passo 1
O enunciado dá que
e pede para calcular
.
Informações relevantes: (i) a sequência converge para
; (ii) a expressão a avaliar é
.
Observação importante (para não nos perdermos depois): a expressão não está definida quando
; trataremos isso definindo convenientemente a função que usaremos (ver passos seguintes).
Informações relevantes: (i) a sequência
Observação importante (para não nos perdermos depois): a expressão
Passo 2
Estratégia (usando o Teorema 1.2): vamos usar o Teorema 1.2 (que diz, em palavras: se uma função
Mostraremos que
. Feito isso, aplicamos o Teorema 1.2 com
e obtemos a resposta.]
Passo 3
Prova de que
(essa é a peça que garante a continuidade de
em
). Vou usar um argumento clássico por desigualdades geométricas (caso
esteja em radianos).
Considere
tal que
. Pelas desigualdades conhecidas de seno e tangente em um triângulo de círculo unitário vale
Como
, a desigualdade
é
, que ao multiplicar por
(positivo nessa faixa) fornece
Agora, como
(continuidade da cosseno), pelo princípio do aperto (squeeze theorem) segue que
Para
usamos que
, portanto a mesma conclusão vale para
. Assim
Passo 4
Conclusão sobre continuidade: a igualdade
mostra que, se definimos
, então
. Isso é exatamente a definição de continuidade em
. Portanto
é contínua em
.
Passo 5
Tratar o caso de termos
: se algum termo
for exatamente
, a expressão
estaria indefinida. A construção de
acima resolve isso: interpretamos o valor da sequência transformada por
como
. Se
então
. Essa escolha é natural e compatível com o limite que buscamos.
Passo 6
Aplicação do Teorema 1.2: como
e
é contínua em
, pelo Teorema 1.2 temos
Pelo passo anterior
e
quando
(e
quando
). Logo
Resposta
1