Exercício 6. Saiba explicar o que é uma grandeza própria.
Passo 1
O enunciado pede para explicarmos o que é uma grandeza própria, tema que faz parte de autovalores e autovetores em álgebra linear. Para isso, vamos precisar da noção de transformação (ou matriz) linear
, de vetor próprio e do polinômio característico.
Passo 2
Uma grandeza própria (também chamada de autovalor) é um escalar
que satisfaz a seguinte condição: existe um vetor não nulo
tal que
Nesse contexto, o vetor
é chamado de vetor próprio associado a
. Em outras palavras, aplicar
em
apenas “esticou” ou “inverteu”
pelo fator
, sem mudar sua direção (apenas a orientação ou módulo).
Passo 3
Para que exista
com
é preciso que o sistema
tenha solução não trivial. Isso só ocorre se o determinante for zero:
A equação
é chamada de equação característica, e seu polinômio associado
é o polinômio característico. As raízes desse polinômio são exatamente as grandezas próprias
.
Passo 4
Em termos geométricos, cada autovalor
indica quanto o operador
alonga (se
), contrai (se
) ou inverte (se
) o vetor próprio
. Na prática, autovalores aparecem em diversas aplicações: vibrações de estruturas (frequências próprias), análise de estabilidade de sistemas dinâmicos, decomposições de matrizes e até métodos de redução de dimensões em estatística (PCA).
Resposta
Uma grandeza própria (ou autovalor) de uma transformação linear
é um escalar
tal que existe vetor não nulo
com
isto é,
é raiz do polinômio característico
.