Exercício 6. Saiba explicar o que é uma grandeza própria.

Passo 1

O enunciado pede para explicarmos o que é uma grandeza própria, tema que faz parte de autovalores e autovetores em álgebra linear. Para isso, vamos precisar da noção de transformação (ou matriz) linear T\colon V\to V, de vetor próprio e do polinômio característico.

Passo 2

Uma grandeza própria (também chamada de autovalor) é um escalar \lambda que satisfaz a seguinte condição: existe um vetor não nulo v\in V tal que
T(v) \;=\;\lambda\,v.
Nesse contexto, o vetor v é chamado de vetor próprio associado a \lambda. Em outras palavras, aplicar T em v apenas “esticou” ou “inverteu” v pelo fator \lambda, sem mudar sua direção (apenas a orientação ou módulo).

Passo 3

Para que exista v\neq 0 com T(v)=\lambda v é preciso que o sistema
\bigl(T - \lambda I\bigr)v = 0
tenha solução não trivial. Isso só ocorre se o determinante for zero:
\det\bigl(T - \lambda I\bigr) = 0.
A equação \det(T - \lambda I)=0 é chamada de equação característica, e seu polinômio associado
p(\lambda) = \det\bigl(T - \lambda I\bigr)
é o polinômio característico. As raízes desse polinômio são exatamente as grandezas próprias \lambda_1,\lambda_2,\dots.

Passo 4

Em termos geométricos, cada autovalor \lambda indica quanto o operador T alonga (se |\lambda|>1), contrai (se |\lambda|<1) ou inverte (se \lambda<0) o vetor próprio v. Na prática, autovalores aparecem em diversas aplicações: vibrações de estruturas (frequências próprias), análise de estabilidade de sistemas dinâmicos, decomposições de matrizes e até métodos de redução de dimensões em estatística (PCA).

Resposta

Uma grandeza própria (ou autovalor) de uma transformação linear T é um escalar \lambda tal que existe vetor não nulo v com
T(v)=\lambda v,
isto é, \lambda é raiz do polinômio característico \det(T-\lambda I)=0.

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